Localisation formelle et groupe de Picard
Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 4, p. 19-82
Let X be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field K. Let X affinoid with canonical reduction r:XX ^ and let ρX ^. The singularity of the point p is described with the help of certain K-algebra’s associated with X namely :(i) the formal localization 𝒪 X,(p) which is noetherian, has r -1 (p) as its maximal ideal space and has reduction 𝒪 X ^,p .(ii) The formal completion 𝒪 ^ X,(p) , again noetherian with r -1 (p) as its maximal ideal space and with reduction 𝒪 ^ X ^,p .The essential results are obtained for a regular X of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) p is an ordinary multiple point, (b) Pic(𝒪 ^ X,(p) )=(1), r -1 (p) is locally isomorphic to P K 1 . For an ordinary multiple point p one finds Pic(𝒪 X,(p) )|K × | n-s /Z where n is the multiplicity of p, the number of irreducible components through p is s, and Z is a subgroup of |K × | n-s generated by at most (n-1) elements. In particular Pic(𝒪 X,(p) )=(1) if and only if p is a multiple intersection.
Soient X un espace analytique affinoïde réduit sur un corps K complet pour une valeur absolue non archimédienne, r:XX ^ sa réduction canonique et pX ^ un point de la variété algébrique affine X ^. Ce travail décrit la singularité du point p à l’aide d’objets associés à l’espace X: la localisation formelle 𝒪 X,(p) qui est une K-algèbre noethérienne de spectre maximal r -1 (p) et dont la réduction est 𝒪 X ^,(p)  ; un complété formel 𝒪 X,(p) qui est une K-algèbre noethérienne dont la réduction est 𝒪 X ^,(p) . Les résultats essentiels sont obtenus pour X régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : p est un point multiple ordinaire; Pic(𝒪 ^ X,(p) )=(1) (le groupe de Picard de 𝒪 ^ X,(p) est trivial) ; r -1 (p) est localement isomorphe à P K 1 . Si p est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic(𝒪 X,(p) )|K × | n-s /Zn est la multiplicité du point p, s le nombre de composantes irréductibles de X ^ qui passent par p et Z est un sous-groupe de |K × | n-s engendré par, au plus, n-1 éléments. En particulier, Pic(𝒪 X,(p) )=(1) si et seulement si p est une intersection multiple.
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Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der. Localisation formelle et groupe de Picard. Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 4, pp. 19-82. doi : 10.5802/aif.940. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1983__33_4_19_0/

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