# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Localisation formelle et groupe de Picard
Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 4, pp. 19-82.

Let $X$ be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field $K$. Let $X$ affinoid with canonical reduction $r:X\to \stackrel{^}{X}$ and let $\rho \in \stackrel{^}{X}$. The singularity of the point $p$ is described with the help of certain $K$-algebra’s associated with $X$ namely :

(i) the formal localization ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ which is noetherian, has ${r}^{-1}\left(p\right)$ as its maximal ideal space and has reduction ${𝒪}_{\stackrel{^}{X},p}$.

(ii) The formal completion ${\stackrel{^}{𝒪}}_{X,\left(p\right)}$, again noetherian with ${r}^{-1}\left(p\right)$ as its maximal ideal space and with reduction ${\stackrel{^}{𝒪}}_{\stackrel{^}{X},p}$.

The essential results are obtained for a regular $X$ of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) $p$ is an ordinary multiple point, (b) Pic$\left({\stackrel{^}{𝒪}}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$, ${r}^{-1}\left(p\right)$ is locally isomorphic to ${\mathbf{P}}_{K}^{1}$. For an ordinary multiple point $p$ one finds Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)\simeq |{K}^{×}{|}^{n-s}/Z$ where $n$ is the multiplicity of $p$, the number of irreducible components through $p$ is $s$, and $Z$ is a subgroup of $|{K}^{×}{|}^{n-s}$ generated by at most $\left(n-1\right)$ elements. In particular Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ if and only if $p$ is a multiple intersection.

Soient $X$ un espace analytique affinoïde réduit sur un corps $K$ complet pour une valeur absolue non archimédienne, $r:X\to \stackrel{^}{X}$ sa réduction canonique et $p\in \stackrel{^}{X}$ un point de la variété algébrique affine $\stackrel{^}{X}$. Ce travail décrit la singularité du point $p$ à l’aide d’objets associés à l’espace $X$: la localisation formelle ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne de spectre maximal ${r}^{-1}\left(p\right)$ et dont la réduction est ${𝒪}_{\stackrel{^}{X},\left(p\right)}$ ; un complété formel ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne dont la réduction est ${𝒪}_{\stackrel{^}{X},\left(p\right)}$. Les résultats essentiels sont obtenus pour $X$ régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : $p$ est un point multiple ordinaire; Pic$\left({\stackrel{^}{𝒪}}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ (le groupe de Picard de ${\stackrel{^}{𝒪}}_{X,\left(p\right)}$ est trivial) ; ${r}^{-1}\left(p\right)$ est localement isomorphe à ${\mathbf{P}}_{K}^{1}$. Si $p$ est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)\simeq |{K}^{×}{|}^{n-s}/Z$$n$ est la multiplicité du point $p$, $s$ le nombre de composantes irréductibles de $\stackrel{^}{X}$ qui passent par $p$ et $Z$ est un sous-groupe de $|{\mathbf{K}}^{×}{|}^{n-s}$ engendré par, au plus, $n-1$ éléments. En particulier, Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ si et seulement si $p$ est une intersection multiple.

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