Let be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field . Let affinoid with canonical reduction and let . The singularity of the point is described with the help of certain -algebra’s associated with namely :
(i) the formal localization which is noetherian, has as its maximal ideal space and has reduction .
(ii) The formal completion , again noetherian with as its maximal ideal space and with reduction .
The essential results are obtained for a regular of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) is an ordinary multiple point, (b) Pic, is locally isomorphic to . For an ordinary multiple point one finds Pic where is the multiplicity of , the number of irreducible components through is , and is a subgroup of generated by at most elements. In particular Pic if and only if is a multiple intersection.
Soient un espace analytique affinoïde réduit sur un corps complet pour une valeur absolue non archimédienne, sa réduction canonique et un point de la variété algébrique affine . Ce travail décrit la singularité du point à l’aide d’objets associés à l’espace : la localisation formelle qui est une -algèbre noethérienne de spectre maximal et dont la réduction est ; un complété formel qui est une -algèbre noethérienne dont la réduction est . Les résultats essentiels sont obtenus pour régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : est un point multiple ordinaire; Pic (le groupe de Picard de est trivial) ; est localement isomorphe à . Si est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic où est la multiplicité du point , le nombre de composantes irréductibles de qui passent par et est un sous-groupe de engendré par, au plus, éléments. En particulier, Pic si et seulement si est une intersection multiple.
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Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der. Localisation formelle et groupe de Picard. Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 4, pp. 19-82. doi : 10.5802/aif.940. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.940/
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