Localisation formelle et groupe de Picard

Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der

doi:10.5802/aif.940

Fresnel, Jean ; Put, Marius Van Der

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 19-82

Résumé (VO)
Abstract

Soient $X$ un espace analytique affinoïde réduit sur un corps $K$ complet pour une valeur absolue non archimédienne, $r : X \to \hat{X}$ sa réduction canonique et $p \in \hat{X}$ un point de la variété algébrique affine $\hat{X}$ . Ce travail décrit la singularité du point $p$ à l’aide d’objets associés à l’espace $X$ : la localisation formelle $𝒪_{X, (p)}$ qui est une $K$ -algèbre noethérienne de spectre maximal $r^{- 1} (p)$ et dont la réduction est $𝒪_{\hat{X}, (p)}$ ; un complété formel $𝒪_{X, (p)}$ qui est une $K$ -algèbre noethérienne dont la réduction est $𝒪_{\hat{X}, (p)}$ . Les résultats essentiels sont obtenus pour $X$ régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : $p$ est un point multiple ordinaire; Pic $({\hat{𝒪}}_{X, (p)}) = (1)$ (le groupe de Picard de ${\hat{𝒪}}_{X, (p)}$ est trivial) ; $r^{- 1} (p)$ est localement isomorphe à $P_{K}^{1}$ . Si $p$ est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic $(𝒪_{X, (p)}) ≃ | K^{\times} |^{n - s} / Z$ où $n$ est la multiplicité du point $p$ , $s$ le nombre de composantes irréductibles de $\hat{X}$ qui passent par $p$ et $Z$ est un sous-groupe de $| K^{\times} |^{n - s}$ engendré par, au plus, $n - 1$ éléments. En particulier, Pic $(𝒪_{X, (p)}) = (1)$ si et seulement si $p$ est une intersection multiple.

Let $X$ be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field $K$ . Let $X$ affinoid with canonical reduction $r : X \to \hat{X}$ and let $ρ \in \hat{X}$ . The singularity of the point $p$ is described with the help of certain $K$ -algebra’s associated with $X$ namely :

(i) the formal localization $𝒪_{X, (p)}$ which is noetherian, has $r^{- 1} (p)$ as its maximal ideal space and has reduction $𝒪_{\hat{X}, p}$ .

(ii) The formal completion ${\hat{𝒪}}_{X, (p)}$ , again noetherian with $r^{- 1} (p)$ as its maximal ideal space and with reduction ${\hat{𝒪}}_{\hat{X}, p}$ .

The essential results are obtained for a regular $X$ of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) $p$ is an ordinary multiple point, (b) Pic $({\hat{𝒪}}_{X, (p)}) = (1)$ , $r^{- 1} (p)$ is locally isomorphic to $P_{K}^{1}$ . For an ordinary multiple point $p$ one finds Pic $(𝒪_{X, (p)}) ≃ | K^{\times} |^{n - s} / Z$ where $n$ is the multiplicity of $p$ , the number of irreducible components through $p$ is $s$ , and $Z$ is a subgroup of $| K^{\times} |^{n - s}$ generated by at most $(n - 1)$ elements. In particular Pic $(𝒪_{X, (p)}) = (1)$ if and only if $p$ is a multiple intersection.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.940

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Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der. Localisation formelle et groupe de Picard. Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 19-82. doi: 10.5802/aif.940

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