# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 83-123.

Let $P\left(\underline{x}\right)=P\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ and $Q\left(\underline{x}\right)=Q\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ be tow polynomials with positive coefficients such that:

 $\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{|\underline{x}|\to +\infty }{{x}_{1},...,{x}_{n}\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underline{x}\right)}{Q\left(\underline{x}\right)}=+\infty .$

Let $\underline{\eta }=\left({\eta }_{1},...,{\eta }_{n}\right)\in {\mathbf{N}}^{n}$ and $R=P/Q$. We study the Dirichlet series $Z\left(R,\underline{\eta };s\right)={\sum }_{{\eta }_{1},...,{\eta }_{n}=1}^{\infty }{\underline{\eta }}^{\underline{\eta }}R\left(\underline{\eta }{\right)}^{-s}$: abscissa of absolute convergence, existence and nature of the meromorphic continuation, order of growth in vertical strips. Our process for constructing the meromorphic continuation of the function $s↦Z\left(R,\underline{\eta };s\right)$ only depends on $\underline{\eta }$ and some particular monomials of $P$ and $Q$: the extremal monomials.

Soient $P\left(\underline{x}\right)=P\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ et $Q\left(\underline{x}\right)=Q\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :

 $\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{|\underline{x}|\to +\infty }{{x}_{1},...,{x}_{n}\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underline{x}\right)}{Q\left(\underline{x}\right)}=+\infty .$

Soient $\underline{\eta }=\left({\eta }_{1},...,{\eta }_{n}\right)\in {\mathbf{N}}^{n}$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z\left(R,\underline{\eta };s\right)={\sum }_{{\eta }_{1},...,{\eta }_{n}=1}^{\infty }{\underline{\eta }}^{\underline{\eta }}R\left(\underline{\eta }{\right)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s↦Z\left(R,\underline{\eta };s\right)$ qui ne dépend que de $\underline{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

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Sargos, Patrick. Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 83-123. doi : 10.5802/aif.979. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.979/`

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Cited by Sources: