# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 83-123.

Let $P\left(\underline{x}\right)=P\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ and $Q\left(\underline{x}\right)=Q\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ be tow polynomials with positive coefficients such that:

 $\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{|\underline{x}|\to +\infty }{{x}_{1},...,{x}_{n}\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underline{x}\right)}{Q\left(\underline{x}\right)}=+\infty .$

Let $\underline{\eta }=\left({\eta }_{1},...,{\eta }_{n}\right)\in {\mathbf{N}}^{n}$ and $R=P/Q$. We study the Dirichlet series $Z\left(R,\underline{\eta };s\right)={\sum }_{{\eta }_{1},...,{\eta }_{n}=1}^{\infty }{\underline{\eta }}^{\underline{\eta }}R\left(\underline{\eta }{\right)}^{-s}$: abscissa of absolute convergence, existence and nature of the meromorphic continuation, order of growth in vertical strips. Our process for constructing the meromorphic continuation of the function $s↦Z\left(R,\underline{\eta };s\right)$ only depends on $\underline{\eta }$ and some particular monomials of $P$ and $Q$: the extremal monomials.

Soient $P\left(\underline{x}\right)=P\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ et $Q\left(\underline{x}\right)=Q\left({x}_{1},...,{x}_{n}\right)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :

 $\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{|\underline{x}|\to +\infty }{{x}_{1},...,{x}_{n}\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underline{x}\right)}{Q\left(\underline{x}\right)}=+\infty .$

Soient $\underline{\eta }=\left({\eta }_{1},...,{\eta }_{n}\right)\in {\mathbf{N}}^{n}$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z\left(R,\underline{\eta };s\right)={\sum }_{{\eta }_{1},...,{\eta }_{n}=1}^{\infty }{\underline{\eta }}^{\underline{\eta }}R\left(\underline{\eta }{\right)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s↦Z\left(R,\underline{\eta };s\right)$ qui ne dépend que de $\underline{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

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[1] M.F. Atiyah, Resolution of singularities and division of distribution, Comm. Pure Appli. Math., 23, 2 (1970), 145-150. | MR | Zbl

[2] M. Berger, Géométrie, volume 3, Cedic-Fernand Nathan, Paris, (1978). | Zbl

[3] I.N. Bernstein and S.I. Gel'Fand, Meromorphic property of the function Pλ, Funkts. Analiz, 3, N°1 (1969), 84-86. | MR | Zbl

[4] N. Bournaki, Espaces vectoriels topologiques, chapitre 2, Hermann, Paris, 1966.

[5] P. Cassou-Nogues, Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Ann. Inst. Fourier, 31-4 (1981), 1-36. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Cassou-Nogues, Séries de Dirichlet, Journées Arithmétiques de Metz, Astérisque, 94 (1982), 1-15. | Zbl

[7] P. Cassou-Nogues, Prolongement des séries de Dirichlet associées à un polynôme à deux indéterminées (à paraître).

[8] J. Dieudonne, Eléments d'analyse, tome 2, Gauthier-Villars, 1974.

[9] I.M. Gel'Fand and G.E. Shilov, Generalized Functions, Vol. 1, Academic Press, New-York, 1964. | Zbl

[10] E. Lindelof, Le Calcul des Résidus, Chelsea Publishing Company, 1947.

[11] K. Mahler, Uber einer Satz von Mellin, Math. Ann, 100 (1928), 384-395. | JFM

[12] H. Mellin, Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geshlecht, Acta Soc. Scient. Fennicae, 29, N° 4 (1900).

[13] O. Moussa, Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Mémoire de D.E.A., Université de Dakar (1983).

[14] P. Sargos, Séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables, Séminaire de Théorie des nombres, exposé N°1, Public. Univ. Bordeaux (1981-1982). | Zbl

[15] E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, Clarendon Press, Oxford, 1949.

Cited by Sources: