Sur les fonctions finement holomorphes
Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 4, pp. 57-88.

These functions are defined in open sets in the Brelot-Cartan fine topology in the complex plane. They generalize the ordinary holomorphic functions. The study of the finely holomorphic functions is bases here on the Beppo Levi functions, made precise in the sense of Deny. Using the Cauchy-Pompeiu transform the results by Debiard, Gaveau, and Lyons are recovered and extended in a non-probabilistic way. In addition it is shown that every finely holomorphic function is uniquely determined by its Taylor series, and that this series represents the function finely locally in an asymptotic sense. Furthermore, a finely holomorphic function has at most countably many zeros. At the end the finely holomorphic functions of class L p are studied.

Ces fonctions sont définies dans des ouverts pour la topologie fine de Brelot-Cartan dans le plan complexe. Elles généralisent les fonctions holomorphes ordinaires. L’étude des fonctions finement holomorphes est fondée ici sur les fonctions Beppo Levi comme précisées par Deny. En utilisant la transformée de Cauchy-Pompeiu on retrouve et étend de façon non-probabiliste les résultats de Debiard, Gaveau et Lyons. On montre en outre que toute fonction finement holomorphe est déterminée par sa série de Taylor. Cette série représente la fonction finement localement dans un sens asymptotique. Le nombre des zéros d’une fonction finement holomorphe est au plus dénombrable. À la fin on étudie les fonctions finement holomorphes de la classe L p .

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