Hilbert irreducibility, the Malle conjecture and the Grunwald problem
[Théorème d’irréductibilité de Hilbert, conjecture de Malle et problème de Grunwald]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2099-2134.

Le résultat central est une nouvelle version du théorème d’irréductibilité de Hilbert qui fournit des bornes explicites pour le nombre de spécialisations de hauteur bornée d’un polynôme à deux variables sur un corps de nombres K. Comme application, en démarrant d’une extension galoisienne finie régulière F/K(T) de groupe G, nous pouvons compter le nombre d’extensions spécialisées F t 0 /K conservant le groupe G et dont la norme du discriminant de l’extension N K/ (d F t 0 ) est majorée. En conséquence, nous contribuons à la conjecture de Malle sur le nombre N(K,G,y) d’extensions finies galoisiennes E sur un corps de nombres K, de groupe G et de norme de discriminant N K/ (d E )y. Pour chaque corps de nombres K contenant un certain corps de nombres K 0 (dépendant de G), nous établissons cette minoration  : N(K,G,y)y α(G) pour y1 et pour un exposant spécifique α(G) dépendant de G. Nous pouvons aussi décrire le comportement local des extensions spécialisées en certains premiers. Nous déduisons ainsi de nouveaux résultats sur le problème local-global de Grunwald, en particulier pour certains groupes non résolubles.

The central result is a new version of the Hilbert Irreducibility Theorem which provides explicit bounds for the number of specializations of bounded height of two-variable polynomials over number fields K. As an application, starting from a regular finite Galois extension F/K(T) of group G, we can count the number of specialized extensions F t 0 /K retaining the full Galois group G and that are of bounded discriminant norm N K/ (d F t 0 ). Consequently, we contribute to the Malle conjecture on the number N(K,G,y) of finite Galois extensions E of some number field K, of group G and of discriminant norm N K/ (d E )y. For every number field K containing a certain number field K 0 (depending on G), we establish this lower bound: N(K,G,y)y α(G) for y1 and some specific exponent α(G) depending on G. We can also prescribe the local behaviour of the specialized extensions at some primes. We deduce new results on the local-global Grunwald problem, in particular for some non-solvable groups.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/aif.3567
Classification : 12E25, 12F12, 11R58, 11R44, 14Gxx, 11Rxx, 12Fxx
Keywords: Galois extensions, Inverse Galois theory, Malle conjecture, Grunwald problem, Algebraic covers, Specialization, Diophantine geometry
Mot clés : Extensions galoisiennes, Théorie inverse de Galois, Conjecture de Malle, Problème de Grunwald, Revêtements algébriques, Spécialisation, Géométrie diophantienne.
Motte, François 1

1 Laboratoire Paul Painlevé Mathématiques Université Lille 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
@article{AIF_2023__73_5_2099_0,
     author = {Motte, Fran\c{c}ois},
     title = {Hilbert irreducibility, the {Malle} conjecture and the {Grunwald} problem},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2099--2134},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {73},
     number = {5},
     year = {2023},
     doi = {10.5802/aif.3567},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3567/}
}
TY  - JOUR
AU  - Motte, François
TI  - Hilbert irreducibility, the Malle conjecture and the Grunwald problem
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2023
SP  - 2099
EP  - 2134
VL  - 73
IS  - 5
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3567/
DO  - 10.5802/aif.3567
LA  - en
ID  - AIF_2023__73_5_2099_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Motte, François
%T Hilbert irreducibility, the Malle conjecture and the Grunwald problem
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2023
%P 2099-2134
%V 73
%N 5
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3567/
%R 10.5802/aif.3567
%G en
%F AIF_2023__73_5_2099_0
Motte, François. Hilbert irreducibility, the Malle conjecture and the Grunwald problem. Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2099-2134. doi : 10.5802/aif.3567. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3567/

[1] Barroero, Fabrizio Counting algebraic integers of fixed degree and bounded height, Monatsh. Math., Volume 175 (2014) no. 1, pp. 25-41 | DOI | MR | Zbl

[2] Bilu, Yuri Counting number fields in fibers (with an appendix by Jean Gillibert), Math. Z., Volume 288 (2018) no. 1-2, pp. 541-563 | DOI | MR | Zbl

[3] Bombieri, E.; Pila, J. The number of integral points on arcs and ovals, Duke Math. J., Volume 59 (1989) no. 2, pp. 337-357 | DOI | MR | Zbl

[4] Broberg, Niklas A note on a paper by R. Heath-Brown: “The density of rational points on curves and surfaces” [Ann. Math. (2) 155 (2002), no. 2, p. 553–595; MR1906595], J. Reine Angew. Math., Volume 571 (2004), pp. 159-178 | DOI | MR | Zbl

[5] Chen, Huayi Explicit uniform estimation of rational points II. Hypersurface coverings, J. Reine Angew. Math., Volume 668 (2012), pp. 89-108 | DOI | MR | Zbl

[6] Dèbes, Pierre Hilbert subsets and S-integral points, Manuscr. Math., Volume 89 (1996) no. 1, pp. 107-137 | DOI | MR | Zbl

[7] Dèbes, Pierre Méthodes topologiques et analytiques en théorie inverse de Galois: théorème d’existence de Riemann, Arithmétique de revêtements algébriques (Saint-Étienne, 2000) (Sémin. Congr.), Volume 5, Soc. Math. France, Paris, 2001, pp. 27-41 | MR | Zbl

[8] Dèbes, Pierre On the Malle conjecture and the self-twisted cover, Israel J. Math., Volume 218 (2017) no. 1, pp. 101-131 | DOI | MR | Zbl

[9] Dèbes, Pierre Groups with no parametric Galois realizations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 51 (2018) no. 1, pp. 143-179 | DOI | MR | Zbl

[10] Dèbes, Pierre; Ghazi, Nour Galois covers and the Hilbert–Grunwald property, Ann. Inst. Fourier, Volume 62 (2012) no. 3, pp. 989-1013 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[11] Demarche, Cyril; Lucchini Arteche, Giancarlo; Neftin, Danny The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces, Ann. Inst. Fourier, Volume 67 (2017) no. 3, pp. 1009-1033 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[12] Dvornicich, R.; Zannier, U. Fields containing values of algebraic functions, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume 21 (1994) no. 3, pp. 421-443 | Numdam | MR | Zbl

[13] Fried, Michael D.; Jarden, Moshe Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11, Springer-Verlag, Berlin, 1986, xviii+458 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Harari, David Quelques propriétés d’approximation reliées à la cohomologie galoisienne d’un groupe algébrique fini, Bull. Soc. Math. France, Volume 135 (2007) no. 4, pp. 549-564 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[15] Harpaz, Yonatan; Wittenberg, Olivier Zéro-cycles sur les espaces homogènes et problème de Galois inverse (2018) (https://arxiv.org/abs/1802.09605)

[16] Heath-Brown, D. R. The density of rational points on curves and surfaces, Ann. Math. (2), Volume 155 (2002) no. 2, pp. 553-595 | DOI | MR | Zbl

[17] Jordan, Camille Recherches sur les substitutions, J. Liouville, Volume 17 (1872), pp. 351-367 | Numdam | Zbl

[18] Klüners, Jürgen Asymptotics of number fields and the Cohen–Lenstra heuristics, Jux, Volume 18 (2006) no. 3, pp. 607-615 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[19] Klüners, Jürgen; Malle, Gunter Counting nilpotent Galois extensions, J. Reine Angew. Math., Volume 572 (2004), pp. 1-26 | DOI | MR | Zbl

[20] Lang, Serge; Weil, André Number of points of varieties in finite fields, Amer. J. Math., Volume 76 (1954), pp. 819-827 | DOI | MR | Zbl

[21] Legrand, François Specialization results and ramification conditions, Israel J. Math., Volume 214 (2016) no. 2, pp. 621-650 | DOI | MR | Zbl

[22] Malle, Gunter On the distribution of Galois groups, J. Number Theory, Volume 92 (2002) no. 2, pp. 315-329 | DOI | MR | Zbl

[23] Malle, Gunter On the distribution of Galois groups. II, Experiment. Math., Volume 13 (2004) no. 2, pp. 129-135 | DOI | MR | Zbl

[24] Murty, M. Ram; Rath, Purusottam Transcendental numbers, Springer, New York, 2014, xiv+217 pages | DOI | MR | Zbl

[25] Neukirch, Jürgen On solvable number fields, Invent. Math., Volume 53 (1979) no. 2, pp. 135-164 | DOI | MR | Zbl

[26] Saltman, David J. Generic Galois extensions and problems in field theory, Adv. in Math., Volume 43 (1982) no. 3, pp. 250-283 | DOI | MR | Zbl

[27] Samuel, Pierre Théorie algébrique des nombres, Hermann, 1967, 130 pages | MR | Zbl

[28] Schanuel, Stephen Hoel Heights in number fields, Bull. Soc. Math. France, Volume 107 (1979) no. 4, pp. 433-449 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[29] Schinzel, Andrzej; Zannier, Umberto The least admissible value of the parameter in Hilbert’s irreducibility theorem, Acta Arith., Volume 69 (1995) no. 3, pp. 293-302 | DOI | MR | Zbl

[30] Serre, Jean-Pierre Topics in Galois theory, Research Notes in Mathematics, 1, A K Peters, Ltd., 2008, xvi+120 pages (with notes by Henri Darmon) | MR | Zbl

[31] Walkowiak, Yann Théorème d’irréductibilité de Hilbert effectif, Acta Arith., Volume 116 (2005) no. 4, pp. 343-362 | DOI | MR | Zbl

[32] Wang, Shianghaw A counter-example to Grunwald’s theorem, Ann. Math. (2), Volume 49 (1948), pp. 1008-1009 | DOI | MR | Zbl

[33] Wright, David J. Distribution of discriminants of abelian extensions, Proc. London Math. Soc. (3), Volume 58 (1989) no. 1, pp. 17-50 | DOI | MR | Zbl

[34] Zannier, Umberto On the number of times of root of f(n,x)=0 generates a field containing a given number field, J. Number Theory, Volume 72 (1998) no. 1, pp. 1-12 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :