no. 5
Hilbert irreducibility, the Malle conjecture and the Grunwald problem
[Théorème d’irréductibilité de Hilbert, conjecture de Malle et problème de Grunwald]
Motte, François1
1 Laboratoire Paul Painlevé Mathématiques Université Lille 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2099-2134.

Le résultat central est une nouvelle version du théorème d’irréductibilité de Hilbert qui fournit des bornes explicites pour le nombre de spécialisations de hauteur bornée d’un polynôme à deux variables sur un corps de nombres K. Comme application, en démarrant d’une extension galoisienne finie régulière F/K(T) de groupe G, nous pouvons compter le nombre d’extensions spécialisées F t 0 /K conservant le groupe G et dont la norme du discriminant de l’extension N K/ℚ (d F t 0 ) est majorée. En conséquence, nous contribuons à la conjecture de Malle sur le nombre N(K,G,y) d’extensions finies galoisiennes E sur un corps de nombres K, de groupe G et de norme de discriminant N K/ℚ (d E )≤y. Pour chaque corps de nombres K contenant un certain corps de nombres K 0 (dépendant de G), nous établissons cette minoration  : N(K,G,y)≥y α(G) pour y≫1 et pour un exposant spécifique α(G) dépendant de G. Nous pouvons aussi décrire le comportement local des extensions spécialisées en certains premiers. Nous déduisons ainsi de nouveaux résultats sur le problème local-global de Grunwald, en particulier pour certains groupes non résolubles.

The central result is a new version of the Hilbert Irreducibility Theorem which provides explicit bounds for the number of specializations of bounded height of two-variable polynomials over number fields K. As an application, starting from a regular finite Galois extension F/K(T) of group G, we can count the number of specialized extensions F t 0 /K retaining the full Galois group G and that are of bounded discriminant norm N K/ℚ (d F t 0 ). Consequently, we contribute to the Malle conjecture on the number N(K,G,y) of finite Galois extensions E of some number field K, of group G and of discriminant norm N K/ℚ (d E )≤y. For every number field K containing a certain number field K 0 (depending on G), we establish this lower bound: N(K,G,y)≥y α(G) for y≫1 and some specific exponent α(G) depending on G. We can also prescribe the local behaviour of the specialized extensions at some primes. We deduce new results on the local-global Grunwald problem, in particular for some non-solvable groups.

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DOI : 10.5802/aif.3567
Classification : 12E25, 12F12, 11R58, 11R44, 14Gxx, 11Rxx, 12Fxx
Keywords: Galois extensions, Inverse Galois theory, Malle conjecture, Grunwald problem, Algebraic covers, Specialization, Diophantine geometry
Mot clés : Extensions galoisiennes, Théorie inverse de Galois, Conjecture de Malle, Problème de Grunwald, Revêtements algébriques, Spécialisation, Géométrie diophantienne.

Motte, François 1

1 Laboratoire Paul Painlevé Mathématiques Université Lille 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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