no. 5
Local L 2 -regularity of Riemann’s Fourier series
[Régularité locale L 2 de séries de Fourier lacunaires introduites par Riemann]
Seuret, Stéphane1 ; Ubis, Adrián2
1 Université Paris-Est LAMA (UMR 8050) UPEMLV, UPEC, CNRS, 94010, Créteil (France)
2 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Autónoma de Madrid 28049 Madrid (Spain)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 5, pp. 2237-2264.

Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés de convergence et de régularité locale des séries de Fourier lacunaires F s (x)=∑ n=1 +∞ e 2iπn 2 x n s . Dans les années 1850, Riemann avait proposé la série F 2 comme exemple possible de fonction continue nulle part dérivable. La non-dérivabilité de F 2 et plus généralement sa régularité locale ont depuis lors été étudiées par de nombreux mathématiciens, soulevant des questions d’analyse harmonique, d’analyse complexe et d’approximation diophantienne. Nous considérons le cas 1/2<s≤1, et trouvons un critère diophantien sur x∈ℝ pour la convergence de F s (x). Nous étudions également la régularité locale de F s , en démontrant que les L 2 -exposants de F s dépendent de conditions diophantiennes sur x. Les preuves utilisent des estimées locales sur la norme L 2 des sommes partielles de F s .

We are interested in the convergence and the local regularity of the lacunary Fourier series F s (x)=∑ n=1 +∞ e 2iπn 2 x n s . In the 1850’s, Riemann introduced the series F 2 as a possible example of nowhere differentiable function, and the study of this function has drawn the interest of many mathematicians since then. We focus on the case when 1/2<s≤1, and we prove that F s (x) converges when x satisfies a Diophantine condition. We also study the L 2 - local regularity of F s , proving that the local L 2 -norms of F s around a point x behave differently around different x, according again to Diophantine conditions on x.

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DOI : 10.5802/aif.3135
Classification : 42A20, 11K60, 28C15, 28A78
Keywords: Fourier series, Diophantine approximation, local regularity, Hausdorff dimension
Mot clés : Séries de Fourier, Approximation diophantienne, Régularité locale, Dimension de Hausdorff

Seuret, Stéphane 1 ; Ubis, Adrián 2

1 Université Paris-Est LAMA (UMR 8050) UPEMLV, UPEC, CNRS, 94010, Créteil (France)
2 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Autónoma de Madrid 28049 Madrid (Spain)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Seuret, Stéphane; Ubis, Adrián. Local $L^2$-regularity  of Riemann’s Fourier series. Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 5, pp. 2237-2264. doi : 10.5802/aif.3135. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3135/

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