A pre-subgroup of a multiplicative unitary on a finite dimensional Hilbert space is a vector line in such that . We show that there are finitely many pre-subgroups, give a Lagrange theorem and generalize the construction of a “bi-crossed product”. Moreover, we establish bijections between pre-subgroups and coideal subalgebras of the Hopf algebra associated with , and therefore, according to Izumi, Longo, Popa, with the intermediate subfactors of the associated (depth two) inclusions. Finally, we show that the pre-subgroups classify the subobjects of .
On appelle pré-sous-groupe d’un unitaire multiplicatif agissant sur un espace hilbertien de dimension finie une droite vectorielle de telle que . Nous montrons que les pré-sous-groupes sont en nombre fini, donnons un équivalent du théorème de Lagrange et généralisons à ce cadre la construction du “bi-produit croisé”. De plus, nous établissons des bijections entre pré-sous-groupes et sous-algèbres coïdéales de l’algèbre de Hopf associée à , et donc, d’après Izumi, Longo, Popa, avec les facteurs intermédiaires des inclusions de facteurs associées. Enfin, nous montrons que les pré-sous-groupes classifient les sous-objets de .
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Baaj, Saad; Blanchard, Étienne; Skandalis, Georges. Unitaires multiplicatifs en dimension finie et leurs sous-objets. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 4, pp. 1305-1344. doi : 10.5802/aif.1719. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1719/
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