no. 4
Unitaires multiplicatifs en dimension finie et leurs sous-objets
Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 4, pp. 1305-1344.

On appelle pré-sous-groupe d’un unitaire multiplicatif V agissant sur un espace hilbertien de dimension finie ℋ une droite vectorielle L de ℋ telle que V(L⊗L)=L⊗L. Nous montrons que les pré-sous-groupes sont en nombre fini, donnons un équivalent du théorème de Lagrange et généralisons à ce cadre la construction du “bi-produit croisé”. De plus, nous établissons des bijections entre pré-sous-groupes et sous-algèbres coïdéales de l’algèbre de Hopf associée à V, et donc, d’après Izumi, Longo, Popa, avec les facteurs intermédiaires des inclusions de facteurs associées. Enfin, nous montrons que les pré-sous-groupes classifient les sous-objets de (ℋ,V).

A pre-subgroup of a multiplicative unitary V on a finite dimensional Hilbert space ℋ is a vector line L in ℋ such that V(L⊗L)=L⊗L. We show that there are finitely many pre-subgroups, give a Lagrange theorem and generalize the construction of a “bi-crossed product”. Moreover, we establish bijections between pre-subgroups and coideal subalgebras of the Hopf algebra associated with V, and therefore, according to Izumi, Longo, Popa, with the intermediate subfactors of the associated (depth two) inclusions. Finally, we show that the pre-subgroups classify the subobjects of (ℋ,V).

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