Espaces de Sobolev gaussiens

Feyel, Denis; La Pradelle, A. de

doi:10.5802/aif.1193

Feyel, Denis ; La Pradelle, A. de

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 4, pp. 875-908.

Résumé
Abstract

Soit $μ$ une mesure gaussienne sur un espace localement convexe $E$ . On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev $W (E, μ)$ construit sur $E$ et $μ$ . La différentielle $f^{'}$ de $f \in W (E, μ)$ est une fonction de deux variables $(x, y) \in E \times E$ , “quasi-linéaire” dans la seconde variable.

La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur $E \times E$ muni de $μ \times μ$ .

On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si $E$ est un espace de Banach ou de Fréchet ou le dual faible d’un espace de Fréchet séparable et nucléaire.

On montre aussi que toute $f \in W (E, μ)$ vaut $μ$ -presque partout une fonction quasi-continue, et que tous ses représentants quasi-continus sont absolument continus sur presque toute droite parallèle à une direction de Cameron-Martin.

Let $μ$ be a gaussian measure on a locally convex linear space $E$ . We give a new point of view on the first Sobolev space $W (E, μ)$ built on $E$ with respect to $μ$ . The differential $f^{'}$ of $f \in W (E, μ)$ is a function of two variables $(x, y) \in E \times E$ , which is “quasi-linear” in the second variable.

The differential of a stochastic integral is a stochastic integral on $E \times E$ with respect to $μ \otimes μ .$

The natural “gaussian procapacity” is a true capacity if $E$ is a Banach or a Frechet space or the weak dual of a separable Frechet nuclear space.

Any $f \in W (E, μ)$ is equal $μ$ -almost everywhere to a quasi-continuous function $g$ , moreover any such $g$ has for any Cameron-Martin direction the absolute continuity property in almost every line parallel to this direction.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1193

@article{AIF_1989__39_4_875_0,
     author = {Feyel, Denis and La Pradelle, A. de},
     title = {Espaces de {Sobolev} gaussiens},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {875--908},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {39},
     number = {4},
     year = {1989},
     doi = {10.5802/aif.1193},
     zbl = {0664.46028},
     mrnumber = {91e:60183},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1193/}
}

TY  - JOUR
AU  - Feyel, Denis
AU  - La Pradelle, A. de
TI  - Espaces de Sobolev gaussiens
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1989
SP  - 875
EP  - 908
VL  - 39
IS  - 4
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1193/
DO  - 10.5802/aif.1193
LA  - fr
ID  - AIF_1989__39_4_875_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Feyel, Denis
%A La Pradelle, A. de
%T Espaces de Sobolev gaussiens
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1989
%P 875-908
%V 39
%N 4
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1193/
%R 10.5802/aif.1193
%G fr
%F AIF_1989__39_4_875_0

Feyel, Denis; La Pradelle, A. de. Espaces de Sobolev gaussiens. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 4, pp. 875-908. doi : 10.5802/aif.1193. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1193/

Bibliographie
Cité par

[BH1] N. Bouleau et F. Hirsch, Formes de Dirichlet généralisées et densités des variables aléatoires réelles sur l'espace de Wiener, J. of Functionnal Analysis, 69, 2 (1986). | MR | Zbl

[BH2] N. Bouleau et F. Hirsch, Propriétés d'absolue continuité dans les espaces de Dirichlet et applications aux équations différentielles stochastiques, Lecture Notes in Maths, Springer, n° 1204 (1986). | Numdam | MR | Zbl

[BH3] N. Bouleau et F. Hirsch, Sur des propriétés du flot d'une équation différentielle stochastique, C.R. Acad. Sci. Paris, série I, t. 306 (1988), 421-424. | MR | Zbl

[B1] N. Bourbaki, Intégration ch. IX. Asi 1343, Paris, Hermann, 1969. | Zbl

[B2] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques ch. 1-5, Paris, Masson, 1981. | MR | Zbl

[D] J. Deny, Méthodes hilbertiennes en théorie du potentiel, CIME. Potential theory. Cremonese, Stresa, 1970. | MR | Zbl

[DL] J. Deny et J. L. Lions, Espaces du type de Beppo-Levi, Ann. Institut Fourier, III (1953), 305-370. | Numdam | MR | Zbl

[DuFL] R. M. Dudley, J. Feldman, L. Le Cam, On semi-norms and probabilities and abstract Wiener spaces, Ann. Maths., 93 (1971), 390. | MR | Zbl

[E] A. Engelking, Outline of general topology, North-Holland, 1968. | Zbl

[F1] D. Feyel, Espaces de Banach fonctionnels adaptés, quasi-topologie et balayage, Lecture Notes, Springer, n° 681 (1978), 81-102. | MR | Zbl

[F2] D. Feyel, Remarque sur le rôle du théorème de Hahn-Banach dans la démonstration de certains théorèmes de convergence presque sûre, C.R.A.S. Paris, t. 283 (1976), 175. | MR | Zbl

[F3] D. Feyel, Théorèmes de convergence presque sûre, existence de semi-groupes. Advances in Maths., 34, 2 (1979), 145. | MR | Zbl

[F4] D. Feyel, Sur la méthode de Picard (E.D.O. et E.D.S.), Séminaire Probabilités XXI, Lecture Notes in Maths. Springer, n° 1247 (1987). | Numdam | Zbl

[FLP1] D. Feyel et A. De La Pradelle, Espaces de Sobolev sur les ouverts fins, C.R.A.S., Paris, t. 280, série A (1975). | MR | Zbl

[FLP2] D. Feyel et A. De La Pradelle, Topologies fines et compactifications associées à certains espaces de Dirichlet, Annales de l'Institut Fourier, XXVII, fasc. 4 (1977), 121-146. | Numdam | MR | Zbl

[FLP3] D. Feyel et A. De La Pradelle, Le rôle des espaces de Sobolev en topologie fine, Lecture Notes in Math. Springer, n° 563 (1976). | MR | Zbl

[FLP4] D. Feyel et A. De La Pradelle, Représentation d'espaces de Riesz-Banach sur des espaces quasi-topologiques, Bulletin de l'Académie Royale de Belgique, 5e série, t. LXIV (1978). | Zbl

[FLP5] D. Feyel et A. De La Pradelle, Sur le rôle des espaces adaptés en théorie de l'énergie, C.R.A.S. Paris, t. 282 (1976), 153. | MR | Zbl

[FLP6] D. Feyel et A. De La Pradelle, Nouvelle démonstration de l'inégalité de Harnack pour un opérateur elliptique à coefficients discontinus, C.R.A.S. Paris, série A, t. 281 (1975), 159. | MR | Zbl

[FLP7] D. Feyel et A. De La Pradelle, Sur les espaces de Sobolev en dimension infinie, C.R.A.S. Paris, série I, t. 307, 871. | MR | Zbl

[Fr] X. Fernique, Intégrabilité des vecteurs gaussiens, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 270, série A (1970), 1698. | MR | Zbl

[Fu] F. Fukushima, Dirichlet forms and Markov processes, North Holland, 1980. | Zbl

[G1] L. Gross, Measurable functions on Hilbert space, Trans. Amer. Maths. Soc., t. 105 (1962), 372. | MR | Zbl

[G2] L. Gross, Logarithmic Sobolev inequality, Amer. J. of Maths., t. 97 (1975), 1061. | Zbl

[K] M. Krée, Propriétés de trace en dimension infinie d'espaces du type Sobolev, Bull. Soc. Maths. France, 105 (1977), 141. | Numdam | MR | Zbl

[Kr1] P. Krée, Applications des méthodes variationnelles aux équations aux dérivées partielles sur un espace de Hilbert, C.R. Acad. Sci. Paris, série A, t. 278 (1974), 753. | Zbl

[Kr2] P. Krée, Solutions faibles d'équations aux dérivées fonctionnelles, Séminaire Lelong, analyse, 1972-1973, pp. 142-181, et 1973-1974, pp. 16-47, Lecture Notes in Maths. Springer, n° 410 et 474. | Zbl

[Kb] J. Kuelbs, Gaussian measures on a Banach space, J. of Func. Anal., 5 (1970). | MR | Zbl

[Ku] H. Kuo, Gaussian measures in Banach spaces, Lecture Notes in Maths, Springer, n° 463 (1975). | MR | Zbl

[Ks] S. Kusuoka, Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, section IA, 29 (1982). | MR | Zbl

[Ma1] P. Malliavin, Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators, Proc. of Intern. Symp. on Stoch. diff. eq., Kyoto 1976, Tokyo 1976. | Zbl

[Ma2] P. Malliavin, Implicit functions in finite corank on the Wiener space, Proc. of Taniguchi intern. Symp. on Stoch. anal. Katata, Kyoto, 1982. | Zbl

[Me] P. A. Meyer, Note sur le processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Sém. Proba. XVI. p. 95, Lecture Notes in Maths. Springer, n° 920 (1982). | Numdam | Zbl

[Mo1] G. Mokobodzki, Théorie du balayage, Cours de 3e cycle, Université Paris VI (1969).

[Mo2] G. Mokobodzki, Cônes de potentiels, noyaux subordonnés, CIME, Potential theory, Cremonese, Stresa, 1970. | MR | Zbl

[N1] J. Neveu, Bases mathématiques du calcul des probabilités, Paris, Masson, 1970. | MR | Zbl

[N2] J. Neveu, Martingales à temps discret, Paris, Masson, 1972.

[Sa] Sato, Measure on a Banach space, and abstract Wiener space, Nagoya Maths. J., 36 (1969), 65. | Zbl

[Sc] L. Schwartz, Processus de Markov et désintégrations régulières, Ann. Institut Fourier, XXVII, fasc. 3 (1977), 274. | Numdam | MR | Zbl

[Sk] A. V. Skorokhod, Notes on gaussian measures in a Banach space, Teor. Veroj. I. Prim., 15 (1970), 519. | Zbl

[Su] H. Sugita, Positive generalized Wiener functions and potential theory over abstract Wiener spaces (à paraître in Osaka Journal of Math.). | Zbl

[W] S. Watanabe, Lectures on stochastic differential equations and Malliavin calculus, Tata Instit. Bombay, 1984. | MR | Zbl

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT