Les espaces du type de Beppo Levi

Deny, Jacques; Lions, Jacques-Louis

doi:10.5802/aif.55

Deny, Jacques ; Lions, Jacques-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 305-370.

Résumé

Soit $Ω$ un ouvert quelconque connexe de $R^{n}$ . Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $Ω$ , séparé et complet. On désigne par $B L_{m} (E)$ l’espace des distributions sur $Ω$ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$ . Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E = L^{2} (Ω)$ , on écrit $B L = B L (Ω)$ au lieu de $B L_{1} (L^{2} (Ω))$ . La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $B L_{1} (E)$ ; la seconde associe à toute fonction $F \in B L (Ω)$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des $B L_{m} (E)$ . Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à $B L_{m} (E)$ est complet ; 2) si $n > 2$ , l’espace ${\hat{D}}^{1} (Ω)$ , complété de $D (Ω)$ pour la norme $∥ ϕ ∥_{1} = (\int_{Ω} | \vec{grad} ϕ |^{2} d x)^{1 / 2}$ est un espace de distributions. Si $n = 2$ , il en est encore ainsi, si et seulement si, $Ω$ est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné $Ω$ et à l’équation $Δ u = 0$ soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que $Ω$ soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute $F \in B L (Ω)$ est dans $L^{2} (Ω)$ ) ; 4) pour qu’une $F \in B L (Ω)$ soit dans ${\hat{D}}^{1} (Ω)$ , il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” $F^{*}$ , associée à $F$ , admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si $n > 2$ et $Ω$ non borné, etc.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.55

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Deny, Jacques; Lions, Jacques-Louis. Les espaces du type de Beppo Levi. Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 305-370. doi : 10.5802/aif.55. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.55/

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