Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l’espace euclidien  [ Volume and total curvature for hypersurfaces of euclidean space ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 54 (2004) no. 3, p. 733-771

We study higher dimensional analogues of Burago’s inequality A(S)R 2 T(S), where S is a closed surface C 2 immersed in 3 , A(S) is the area and T(S) is the total curvature. We construct an explicit example showing that an analogous inequality of the form vol (M)C n R n T(M), with C n >0 a constant, cannot hold for an arbitrary closed C 2 immersed hypersurface M of n+1 , n3. Nonetheless, we exhibit a sufficient condition on the Ricci curvature of M which ensures the inequality in dimension n=3. In arbitrary dimension, we prove a semi- local inequality bounding the volume of a compact set KM by the total curvature of some open set U containing it, under the assumption that the Gauss-Kronecker curvature does not vanish on U. We prove various other inequalities having an isoperimetric flavour and show that they are optimal. We also prove a ``reverse’’ isoperimetric inequality holding in constant curvature spaces.

Nous étudions des analogues en dimension supérieure de l’inégalité de Burago A(S)R 2 T(S), avec S une surface fermée de classe C 2 immergée dans 3 , A(S) son aire et T(S) sa courbure totale. Nous donnons un exemple explicite qui prouve qu’une inégalité analogue de la forme vol (M)C n R n T(M), avec C n >0 une constante, ne peut être vraie pour une hypersurface fermée M de classe C 2 dans n+1 , n3. Nous mettons toutefois en évidence une condition suffisante sur la courbure de Ricci sous laquelle l’inégalité est vérifiée en dimension n=3. En dimension arbitraire, nous obtenons une inégalité similaire à caractère semi-local qui majore le volume d’un compact K de M par la courbure totale d’un ouvert U qui le contient, sous l’hypothèse que la courbure de Gauss-Kronecker ne s’annule pas sur U. Nous présentons différentes autres inégalités impliquant la courbure totale et ayant un caractère isopérimétrique. Au passage, nous obtenons une inégalité isopérimétrique ``inverse’’ valable dans les espaces à courbure constante.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2032
Classification:  52A40,  53A07,  53C21
Keywords: hypersurfaces, total curvature, isoperimetrics inequalities
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Oancea, Alexandru. Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. Annales de l'Institut Fourier, Volume 54 (2004) no. 3, pp. 733-771. doi : 10.5802/aif.2032. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2004__54_3_733_0/

[Au] T. Aubin Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge-Ampère Equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tome 252, Springer, Berlin, 1982 | MR 681859 | Zbl 0512.53044

[BF] T. Bonnesen; W. Fenchel Theorie der konvexen Körper, Erg. Math. u. ihrer Grenzgebiete 3, Tome No 1, Springer, Berlin, 1934 | MR 344997 | Zbl 0008.07708

[BZ] Yu.D. Burago; V.A. Zalgaller Geometric Inequalities, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tome 285, Springer, Berlin, 1988 | MR 936419 | Zbl 0633.53002

[Fe] H. Federer Curvature measures, Trans. AMS, Tome 93 (1959), pp. 418-491 | MR 110078 | Zbl 0089.38402

[H] C.C. Hsiung Some integral formulas for closed hypersurfaces, Math. Scand., Tome 2 (1954), pp. 286-294 | MR 68236 | Zbl 0057.14603

[RT] J. Rauch; B.A. Taylor The Dirichlet Problem for the multidimensional Monge-Ampère Equation, Rocky Mountain J. of Math., Tome 7 (1977), pp. 345-363 | MR 454331 | Zbl 0367.35025

[S] R. Sacksteder On hypersurfaces with no negative sectional curvatures, Amer. J. Math., Tome 82 (1960), pp. 609-630 | MR 116292 | Zbl 0194.22701

[Su] K. Sugahara Gap theorems for hypersurfaces in $\RR^N$, Hokkaïdo Math. J., Tome 14 (1985), pp. 137-142 | MR 798749 | Zbl 0585.53049