We study higher dimensional analogues of Burago’s inequality , where is a closed surface immersed in , is the area and is the total curvature. We construct an explicit example showing that an analogous inequality of the form , with a constant, cannot hold for an arbitrary closed immersed hypersurface of , . Nonetheless, we exhibit a sufficient condition on the Ricci curvature of which ensures the inequality in dimension . In arbitrary dimension, we prove a semi- local inequality bounding the volume of a compact set by the total curvature of some open set containing it, under the assumption that the Gauss-Kronecker curvature does not vanish on . We prove various other inequalities having an isoperimetric flavour and show that they are optimal. We also prove a “reverse” isoperimetric inequality holding in constant curvature spaces.
Nous étudions des analogues en dimension supérieure de l’inégalité de Burago , avec une surface fermée de classe immergée dans , son aire et sa courbure totale. Nous donnons un exemple explicite qui prouve qu’une inégalité analogue de la forme , avec une constante, ne peut être vraie pour une hypersurface fermée de classe dans , . Nous mettons toutefois en évidence une condition suffisante sur la courbure de Ricci sous laquelle l’inégalité est vérifiée en dimension . En dimension arbitraire, nous obtenons une inégalité similaire à caractère semi-local qui majore le volume d’un compact de par la courbure totale d’un ouvert qui le contient, sous l’hypothèse que la courbure de Gauss-Kronecker ne s’annule pas sur . Nous présentons différentes autres inégalités impliquant la courbure totale et ayant un caractère isopérimétrique. Au passage, nous obtenons une inégalité isopérimétrique “inverse” valable dans les espaces à courbure constante.
Mot clés : hypersurfaces, courbure totale, inégalités isopérimétriques
Keywords: hypersurfaces, total curvature, isoperimetrics inequalities
Oancea, Alexandru 1
@article{AIF_2004__54_3_733_0, author = {Oancea, Alexandru}, title = {Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {733--771}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {54}, number = {3}, year = {2004}, doi = {10.5802/aif.2032}, zbl = {1067.53002}, mrnumber = {2097421}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2032/} }
TY - JOUR AU - Oancea, Alexandru TI - Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2004 SP - 733 EP - 771 VL - 54 IS - 3 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2032/ DO - 10.5802/aif.2032 LA - fr ID - AIF_2004__54_3_733_0 ER -
%0 Journal Article %A Oancea, Alexandru %T Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien %J Annales de l'Institut Fourier %D 2004 %P 733-771 %V 54 %N 3 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2032/ %R 10.5802/aif.2032 %G fr %F AIF_2004__54_3_733_0
Oancea, Alexandru. Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien. Annales de l'Institut Fourier, Volume 54 (2004) no. 3, pp. 733-771. doi : 10.5802/aif.2032. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2032/
[Au] Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge-Ampère Equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 252, Springer, Berlin, 1982 | MR | Zbl
[BF] Theorie der konvexen Körper, Erg. Math. u. ihrer Grenzgebiete 3, No 1, Springer, Berlin, 1934 | MR | Zbl
[BZ] Geometric Inequalities, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 285, Springer, Berlin, 1988 | MR | Zbl
[Fe] Curvature measures, Trans. AMS, Volume 93 (1959), pp. 418-491 | MR | Zbl
[H] Some integral formulas for closed hypersurfaces, Math. Scand., Volume 2 (1954), pp. 286-294 | MR | Zbl
[RT] The Dirichlet Problem for the multidimensional Monge-Ampère Equation, Rocky Mountain J. of Math., Volume 7 (1977), pp. 345-363 | MR | Zbl
[S] On hypersurfaces with no negative sectional curvatures, Amer. J. Math., Volume 82 (1960), pp. 609-630 | MR | Zbl
[Su] Gap theorems for hypersurfaces in , Hokkaïdo Math. J., Volume 14 (1985), pp. 137-142 | MR | Zbl
Cited by Sources: