Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique
Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 1, p. 167-230
Consider the operator L defined byLu=i=1nDiPi,p(u)-k=1NDt[αp,kuk]where u is an R N -valued function on Ω ¯×[0,T] dans (Ω any open set of R n ), P i,p (u) (1in;1pN) are first order operators (in linear case P i,p (u)= j,k a ijk p D j u k ,α p,k and a ijk p are R-valued not necessarily bounded functions from Ω ¯×[0,T]. Under some hypothesis, we prove that the solutions of -2uLuc 1 u 2 +μ i,p D i u p .P i,p (u) (c 1 function from Ω ¯×[0,T], into R,μ a positive constant <2) satisfy : t Ω Φ 2 α p,k u p .u k dx is decreasing (Φ 2 a suitable weight function). From this result, we obtain theorems of unicity and (if N=1) others similar results, concerning only the positive or negative part of solutions. Using counter-examples, we may show that the results obtained here, cannot be “improved”.
On considère un opérateur L défini parLu=i=1nDiPi,p(u)-k=1NDt[αp,kuk]u est une application de Ω ¯×[0,T] dans R N (Ω ouvert quelconque de R n ), P i,p (u) (1in;1pN) sont des opérateurs du premier ordre P i,p (u)= j,k a ijk p D j u k dans le cas linéaire), α pk et a ijk p sont des fonctions non nécessairement bornées de Ω ¯×[0,T]. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de -2uLuc 1 u 2 +μ i,p D i u p .P i,p (u) (c 1 fonction de Ω ¯×[0,T], μ constante positive inférieure à 2), vérifient : t Ω Φ 2 α p,k u p .u k dx est décroissante (Φ 2 fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient des théorèmes d’unicité et, si N=1, des résultats analogues, mais ne portant que sur la partie positive (ou négative) des solutions. Des contre-exemples montrent que les résultats obtenus ne peuvent pas être “améliorés”.
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     author = {Reynaud, G\'erard},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 1, pp. 167-230. doi : 10.5802/aif.646. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1977__27_1_167_0/

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