Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique

Reynaud, Gérard

doi:10.5802/aif.646

Reynaud, Gérard

Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 1, pp. 167-230

Résumé (Original language)
Abstract

On considère un opérateur $L$ défini par

L u = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} P_{i, p} (u) - \sum_{k = 1}^{N} D_{t} [α_{p, k} u_{k}]

où $u$ est une application de $\bar{Ω} \times [0, T]$ dans $R^{N}$ ( $Ω$ ouvert quelconque de $R^{n}$ ), $P_{i, p} (u)$ $(1 \leq i \leq n; 1 \leq p \leq N)$ sont des opérateurs du premier ordre $P_{i, p} (u) = \sum_{j, k} a_{i j k}^{p} D_{j} u_{k}$ dans le cas linéaire), $α_{p k}$ et $a_{i j k}^{p}$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{Ω} \times [0, T]$ . On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $- 2 u L u \leq c_{1} u^{2} + μ \sum_{i, p} D_{i} u_{p} . P_{i, p} (u)$ ( $c_{1}$ fonction de $\bar{Ω} \times [0, T]$ , $μ$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t \to \int_{Ω} Φ^{2} α_{p, k} u_{p} . u_{k} d x$ est décroissante ( $Φ^{2}$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient des théorèmes d’unicité et, si $N = 1$ , des résultats analogues, mais ne portant que sur la partie positive (ou négative) des solutions. Des contre-exemples montrent que les résultats obtenus ne peuvent pas être “améliorés”.

Consider the operator $L$ defined by

L u = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} P_{i, p} (u) - \sum_{k = 1}^{N} D_{t} [α_{p, k} u_{k}]

where $u$ is an $R^{N}$ -valued function on $\bar{Ω} \times [0, T]$ dans ( $Ω$ any open set of $R^{n}$ ), $P_{i, p} (u)$ $(1 \leq i \leq n; 1 \leq p \leq N)$ are first order operators (in linear case $P_{i, p} (u) = \sum_{j, k} a_{i j k}^{p} D_{j} u_{k}, α_{p, k}$ and $a_{i j k}^{p}$ are $R$ -valued not necessarily bounded functions from $\bar{Ω} \times [0, T]$ . Under some hypothesis, we prove that the solutions of $- 2 u L u \leq c_{1} u^{2} + μ \sum_{i, p} D_{i} u_{p} . P_{i, p} (u)$ ( $c_{1}$ function from $\bar{Ω} \times [0, T]$ , into $R, μ$ a positive constant $< 2$ ) satisfy : $t \to \int_{Ω} Φ^{2} α_{p, k} u_{p} . u_{k} d x$ is decreasing ( $Φ^{2}$ a suitable weight function). From this result, we obtain theorems of unicity and (if $N = 1$ ) others similar results, concerning only the positive or negative part of solutions. Using counter-examples, we may show that the results obtained here, cannot be “improved”.

MR Zbl

DOI: 10.5802/aif.646

@article{AIF_1977__27_1_167_0,
     author = {Reynaud, G\'erard},
     title = {Quelques r\'esultats sur les solutions de syst\`emes d'in\'equations de type parabolique},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {167--230},
     year = {1977},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {27},
     number = {1},
     doi = {10.5802/aif.646},
     zbl = {0334.35038},
     mrnumber = {55 #8557},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.646/}
}

TY  - JOUR
AU  - Reynaud, Gérard
TI  - Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1977
SP  - 167
EP  - 230
VL  - 27
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.646/
DO  - 10.5802/aif.646
LA  - fr
ID  - AIF_1977__27_1_167_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Reynaud, Gérard
%T Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1977
%P 167-230
%V 27
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.646/
%R 10.5802/aif.646
%G fr
%F AIF_1977__27_1_167_0

Reynaud, Gérard. Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 1, pp. 167-230. doi: 10.5802/aif.646

References
Cited by

[1] S. Agmon et L. Nirenberg, Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space, Comm. Pure Appl. Math., XVI (1963), 121-239. | Zbl | MR

[2] D.G. Aronson et P. Besala, Uniqueness of positive solutions of parabolic equations with unbounded coefficients, Coll. Math., XVIII (1967) 125-135. | Zbl | MR

[3] J. Chabrowski, Sur l'unicité de la solution du problème de Cauchy pour l'équation linéaire du type parabolique, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Série III, XXIII, Fasc. IV, (1969), 547-552. | Zbl | MR | Numdam

[4] D.E. Edmunds et Valérie Williams, Hyperbolic differential inequalities, Journal London Math. Soc., 42 (1967). | Zbl | MR

[5] I.M. Guelfand-G.E. Chilov, Les distributions, Collection Universitaire de Mathématiques, Dunod.

[6] M. Lees, Asymptotic behavior of solutions of parabolic differential inequalities, Canadian J. of Maths., 14 (1962). | Zbl | MR

[7] M. Lees et M.H. Protter, Unique continuation for parabolic differential equations and inequalities, Duke Math. J., 28 (1961), 369-382. | Zbl | MR

[8] P. Mustata, Un théorème d'unicité de la solution du problème de Cauchy pour l'équation linéaire parabolique du second ordre, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, XXI (1967), 507-526. | Zbl | MR | Numdam

[9] M.H. Protter, Asymptotic behavior and uniqueness theorems for hyperbolic equations and inequalities, Tech. Rep. Contract AF 49 (638) — 398, Univ. of Calif., Berkeley, Calif., 1960.

[10] F. Riesz et B.Sz. Nagy, Leçons d'analyse fonctionnelle, Gauthier-Villars. | Zbl

[11] Séminaire SCHWARTZ 1959/1960.

Cited by Sources:

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES TO APPEAR

BROWSE ISSUES

ABOUT THE JOURNAL

EDITORIAL BOARD

SUBMIT A PAPER

SUBSCRIPTION