no. 3
Distances hilbertiennes invariantes sur un espace homogène
Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 3, pp. 171-217.

Nous déterminons pour certains espaces homogènes X=G/K les distances invariantes qui proviennent d’un plongement de X dans un espace de Hilbert. Le carré d’une telle distance est un noyau de type négatif invariant dont nous donnons une représentation, c’est la formule de Lévy-Kinchine. Nous en déduisons que si G possède la propriété (T) de Kajdan une telle distance est toujours bornée.

We determine for certain homogeneous spaces X=G/K the invariant distances given by an embedding of X in a Hilbert space. The square of such a distance is an invariant kernel of negative type of which we give a representation, this is the Lévy-Kinchine formula. It follows that if G has the (T) property of Kajdan then such a distance is always bounded.

@article{AIF_1974__24_3_171_0,
     author = {Faraut, Jacques and Harzallah, Khelifa},
     title = {Distances hilbertiennes invariantes sur un espace homog\`ene},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {171--217},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {24},
     number = {3},
     year = {1974},
     doi = {10.5802/aif.525},
     zbl = {0265.43013},
     mrnumber = {51 #1295},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.525/}
}
TY  - JOUR
AU  - Faraut, Jacques
AU  - Harzallah, Khelifa
TI  - Distances hilbertiennes invariantes sur un espace homogène
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1974
SP  - 171
EP  - 217
VL  - 24
IS  - 3
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.525/
DO  - 10.5802/aif.525
LA  - fr
ID  - AIF_1974__24_3_171_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Faraut, Jacques
%A Harzallah, Khelifa
%T Distances hilbertiennes invariantes sur un espace homogène
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1974
%P 171-217
%V 24
%N 3
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.525/
%R 10.5802/aif.525
%G fr
%F AIF_1974__24_3_171_0
Faraut, Jacques; Harzallah, Khelifa. Distances hilbertiennes invariantes sur un espace homogène. Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 3, pp. 171-217. doi : 10.5802/aif.525. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.525/

[1] L. Berard-Bergery, Laplacien et géodésiques fermées sur les formes d'espace hyperbolique compactes, Sém. Bourbaki, 24ème année, 1971/1972, n° 406. | Numdam | Zbl

[2]C. Berg, Dirichlet forms on symmetric spaces KØbenhavns Universitet, Matematisk Institut Preprint Series, (1972) n° 6.

[3]S. Bochner, Hilbert distances and positive definite functions, Ann. of Math., 42 (1941), 647-656. | JFM | MR | Zbl

[4]S. Bochner, Harmonic analysis and the theory of probability University of California Press, Berkeley and Los Angeles. | Zbl

[5]J. Bretagnolle, D. Dacunha Castelle, J.L. Krivine, Lois stables et espaces Lp, Ann. Inst. Henri Poincaré, section B, vol II, n° 3 (1966), 231-259. | Numdam | MR | Zbl

[6]J. Bretagnolle, D. Dacunha Castelle, Le déterminisme des fonctions laplaciennes sur certains espaces de suites, Ann. Inst. Henri Poincaré, section B, vol V, n° 1 (1969), 1-12. | Numdam | MR | Zbl

[7]E. Cartan, Leçons sur la géométrie projective complexe, Gauthier Villars, Paris (1931). | Zbl

[8]C. Delaroche, A. Kirillov, Sur les relations entre l'espace dual d'un groupe et la structure de ses sous-groupes fermés (d'après D.A. Kajdan), Sém. Bourbaki, 20ème année, 1967/1968, n° 343. | Numdam | Zbl

[9]J.D. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, Paris (1969). | MR | Zbl

[10]J. Faraut, K. Harzallah, Fonctions sphériques de type positif sur les espaces hyperboliques, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 274, 1396-1398 (1972) série A. | Zbl

[11]R. Gangolli, Positive definite kernels on homogeneous spaces and certain stochastic processes related to Levy's Brownian motion of several parameters, Ann. Inst. H. Poincaré, section B, vol III, n° 2 (1967) p. 121-225. | Numdam | MR | Zbl

[12]R. Godement, Introduction aux travaux de Selberg, Sém. Bourbaki, 1956/1957, n° 144. | Numdam | Zbl

[13]A. Guichardet, Sur la cohomologie des groupes topologiques, Bull. Sc. Math. 2ème série, 95 (1971) 161-176. | MR | Zbl

[14]K. Harzallah, Sur une démonstration de la formule de Lévy-Kinchine, Ann. Inst. Fourier, 19, 2 (1969), 527-532. | Numdam | MR | Zbl

[15]S. Helgason, Differential geometry and symmetric spaces, Academic press (1962). | MR | Zbl

[16]C. Herz, The spectral theory of bounded functions, Trans. Amer. Math. Soc., 94 (1960), 181-232. | MR | Zbl

[17]D.A. Kajdan, Connection of the dual space of a group with the structure of its closed subgroups, Funktcional Anal., Ego Prilozheniya, vol 1 (1967), 71-74. | Zbl

[18]B. Kostant, On the existence and irreducibility of certain series of representations, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 627-642. | MR | Zbl

[19]M.G. Krein, Hermitian positive kernels on homogeneous spaces, spaces, A.M.S. Translations, (2) 34, 69-164. | Zbl

[20]P. Levy, Processus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier-Villars, Paris 2ème édition (1965). | MR | Zbl

[21]K.R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S.R. Varadhan, Probability distributions on locally compact abelian groups, Illinois J. Math., vol 7 (1963), 337-369. | MR | Zbl

[22]I.J. Schoenberg, Metric spaces and positive definite functions, Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 522-536. | JFM | MR | Zbl

[23]I.J. Schoenberg, Metric spaces and completely monotone functions, Ann. of Math., 39 (1938), 811-841. | JFM | Zbl

[24]I.J. Schoenberg, Positive definite functions on spheres, Duke Math. J., 9 (1942), 96-108. | MR | Zbl

[25]I.J. Schoenberg, J. Von Neumann, Fourier integrals and metric geometry, Trans. Amer. Math. Soc., 50 (1941), 226-251. | JFM | MR | Zbl

[26]R. Takahashi, Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés, Bull. Soc. Math. France, 91 (1963), 289-433. | Numdam | MR | Zbl

[27]S.P. Wang, The dual space of semi-simple groups, Amer. J. of Math., (1969), 921-937. | MR | Zbl

[28]S.P. Wang, On isolated points in the dual spaces of locally compact groups (à paraître).

Cité par Sources :