no. 3
Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet
Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 3, pp. 165-169

Cette note contient deux résultats :

- d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée.

- d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant

1+∑2≤k≤Nakλk-soùlesaksontdesentiersrelatifs

et les λ k sont des nombres réels >1 s’annule dans tout demi-plan Réel s>-ε où ε>0.

L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre en utilisant des théorèmes classiques de la théorie des fonctions p.p. analytiques.

This note contains two results :

- First, an upper bound for the abscissa of absolute convergence of the Dirichlet series expansion of 1/f(s) where f(s) is the sum of a given Dirichlet series.

- Secondly, we prove that any non-constant Dirichlet polynomial

1+∑2≤k≤Nakλk-s

(where λ>1 and a k is an integer for all k=2,...,N) has a zero in any half-plane Real s>-ε where ε>0.

Both of these theorems are consequences of a result which we prove by using classical therorems on analytic almost periodic functions.

Deutsch, Christian. Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 3, pp. 165-169. doi: 10.5802/aif.524
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[1]A.S. Besicovitch, Almost periodic functions (Dover Publications, inc). Chapter III, Analytic Almost Periodic Functions.

[2]C. Corduneanu, Almost periodic functions (Interscience Publisher). Chapter III, Analytic Periodic Functions.

[3]E. Hewitt, J.H. Williamson, Note on absolutely convergent Dirichlet series, Proc. Am. Math. Society, (1957) N° 8. | Zbl | MR

Cited by Sources: