Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less

Sawyer, Eric T.

doi:10.5802/aif.982

Sawyer, Eric T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 3, pp. 189-200.

Résumé
Abstract

Nous démontrons que l’inégalité différentielle $| Δ u | \leq v | u |$ a la propriété de prolongement unique se rapportant à l’espace Sobolev $H_{l o c}^{2, 1} (Ω)$ , $Ω \subset R^{n}$ , $n \leq 3$ , si $v$ satisfait la condition

(K_{n}^{loc}) lim_{r \to 0} sup_{x \in K} \int_{| x - y | < r} | x - y |^{2 - n} v (y) d y = 0

pour tout compact $K \subset Ω$ , où, si $n = 2$ , nous remplaçons $| x - y |^{2 - n}$ par $- log | x - y |$ . Ceci résout une conjecture par B. Simon ayant trait au prolongement unique pour les opérateurs de Schrödinger, $H = - Δ + v$ , dans le cas où $n \leq 3$ . La preuve utilise une approche du type Carleman de concours avec l’inégalité suivante, valable pour tout $N = 0, 1, 2, ...$ et n’importe quel $u \in H_{c}^{2, 1} (R^{3} - {0}),$

\frac{| u (x) |}{| x |^{N}} \leq C \int_{R^{3}} | x - y |^{- 1} \frac{| Δ u (y) |}{| y |^{N}} d y for a.e. x in R^{3} .

We show that the differential inequality $| Δ u | \leq v | u |$ has the unique continuation property relative to the Sobolev space $H_{l o c}^{2, 1} (Ω)$ , $Ω \subset R^{n}$ , $n \leq 3$ , if $v$ satisfies the condition

(K_{n}^{loc}) lim_{r \to 0} sup_{x \in K} \int_{| x - y | < r} | x - y |^{2 - n} v (y) d y = 0

for all compact $K \subset Ω$ , where if $n = 2$ , we replace $| x - y |^{2 - n}$ by $- log | x - y |$ . This resolves a conjecture of B. Simon on unique continuation for Schrödinger operators, $H = - Δ + v$ , in the case $n \leq 3$ . The proof uses Carleman’s approach together with the following pointwise inequality valid for all $N = 0, 1, 2, ...$ and any $u \in H_{c}^{2, 1} (R^{3} - {0}),$

\frac{| u (x) |}{| x |^{N}} \leq C \int_{R^{3}} | x - y |^{- 1} \frac{| Δ u (y) |}{| y |^{N}} d y for a.e. x in R^{3} .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.982

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Sawyer, Eric T. Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less. Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 3, pp. 189-200. doi : 10.5802/aif.982. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.982/

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