# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne
Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 3, pp. 115-146.

Let $a$ be a real number, $a\in \right]0,1\left[$. We study the following system of convolution equations

 $\left(*\right)\phantom{\rule{2em}{0ex}}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\forall x\in {\mathbf{R}}^{2},\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+a\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right).$

We show first that the exponential-solutions of $\left(*\right)$ are dense in the set of ${C}^{\infty }$ solution of $\left(*\right)$; the ideal of ${ℰ}^{\prime }\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When $a$ is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set $\Omega$ such that every solution of the system $\left(*\right)$ in ${ℰ}^{\prime }\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ is regular in ${\mathbf{R}}^{2}$ when it is ${C}^{\infty }$ in $\Omega$. We also study the case when $a$ is of constant type.

Soit $a$ un réel de $\right]0,1\left[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant

 $\left(*\right)\phantom{\rule{2em}{0ex}}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\forall x\in {\mathbf{R}}^{2},\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+a\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right).$

Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $\left(*\right)$ sont denses dans l’espace des solutions ${C}^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\prime }\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $\left(*\right)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.

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Yger, Alain. Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne. Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 3, pp. 115-146. doi : 10.5802/aif.841. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.841/

[1] E.F. Beckenbach et M. Reade, Mean Values and Harmonic polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), 230-238. | MR | Zbl

[2] C.A. Berenstein et B.A. Taylor, Interpolation problems in Cn with applications to Harmonic Analysis, J. Analyse. Math., Vol. 38 (1980). | MR | Zbl

[3] J. Delsarte, Note sur une propriété nouvelle des fonctions harmoniques, C.R.A.S., 246 (1958), 1358-1359. | MR | Zbl

[4] J. Delsarte, Théorie des fonctions moyenne-périodiques de deux variables, Ann. Math., 72 (1960), 121-178. | MR | Zbl

[5] L. Ehrenpreis, Fourier Analysis in several complex variables, Tracts in Math., 17, Wiley-Intersc., (1970). | MR | Zbl

[6] A. Friedman, Mean Values and polyharmonic polynomials, Michigan Math. Journal, 4 (1957), 67-74. | MR | Zbl

[7] L. Gruman, The area of analytic varieties in CN, Math. Scand., 41 (1977). | MR | Zbl

[8] D.I. Gurevich, Counterexamples to a problem of L. Schwartz, Funct. Analysis and its applications (traduit du russe). Russian original, Vol. 9, n° 2, 1975, traduction anglaise, 93-182, 1975, p. 116-120. | Zbl

[9] S. Hansen, Uniqueness of the Cauchy problem for convolution operators, J. reine angew. Math., 317 (1980). | MR | Zbl

[10] E. Kregelius-Petersen et G.H. Meirsters, Non Liouville Numbers and a theorem of Hörmander, Journal of Functional Analysis, 29 (1978), 142-150. | Zbl

[11] S. Lang, Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley Publ. Co., 1966. | MR | Zbl

[12] Y. Meyer, Remarques sur un théorème de J. Delsarte, Ann. Inst. Fourier, 26, 2 (1976), 133-152. | Numdam | MR | Zbl

[13] Y. Meyer, Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, North-Holland Publ. Co. 1972. | MR | Zbl

[14] M. Okada, Une estimation modifiée du type de Bezout pour les applications holomorphes équidimensionnelles entières de Cn, C.R.A.S., Paris, t 291, Série A (7 juillet 1980). | MR | Zbl

[15] R.D. Richtmyer, On the structure of some distributions discovered by Meirsters, Journal of functional Analysis, 9 (1972), 336-348. | MR | Zbl

[16] F. Riesz et B. Sz. Nagy, Leçons d'Analyse fonctionnelle, 6e édition, Gauthier-Villars, Paris 1972.

[17] H. Skoda, Application des techniques L2 à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids, Ann. scient. ec. Norm. sup., 4e série, 5, n° 4 (1972), 545-579. | Numdam | MR | Zbl

[18] B.A. Taylor et J.J. Kelleher, Finitely generated ideals in rings of analytic fonctions, Math. Ann., 193 (1971), 225-237. | MR | Zbl

[19] J.L. Walsh, A mean Value theorem for polynomials and Harmonic polynomials, Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1936), 923-930. | JFM | Zbl

[20] A. Yger, Une généralisation d'un théorème de J. Delsarte, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 497. | MR | Zbl

[21] A. Yger, Fonctions définies dans le plan et moyennes en tout point de leurs valeurs aux sommets de deux carrés, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 535. | MR | Zbl

[22] A. Yger, Propriétés de certains systèmes d'équations de convolution dans R2, C.R.A.S., Paris, 289, série A (1979), 169. | MR | Zbl

[23] A. Yger, Fonctions moyenne périodiques de deux variables ; étude des systèmes d'équations de convolution envisagés par J. Delsarte, Séminaire d'Analyse Harmonique, Orsay, 1976-1977.

Cited by Sources: