Let be a cyclic -extension of a number field . We suppose that is normal over a subfield of , with metabelian Galois group. We study the Galois structure of the -class groups of and especially the -eigenspaces of these groups, for every -adic character of Gal. By choosing a convenient generator in the augmentation ideal of the group ring , we prove that the difference between the orders of two -components is directly connected with -parts of the genus number and of the ambiguous class number of . So, we compute these quantities and show how the unit indices, which appear in the class number formula, are related with the Galois module structure of the unit group.
Soit une extension cyclique -primaire d’un corps de nombres . On suppose que est métabélienne sur un sous-corps d’indice dans , pour un étranger à ; on note son groupe de Galois de un relèvement dans du quotient Gal. On étudie la structure galoisienne des groupes de -classes de et on s’intéresse en particulier à leurs -composantes, lorsque parcourt le groupe des caractères -adiques irréductibles de . Le choix d’un générateur convenable dans l’idéal d’augmentation de l’algèbre permet de mettre en évidence que les écarts entre les ordres respectifs de ces composantes s’expriment très simplement à l’aide des nombres de -classes invariantes et des -parties du nombre de genres de l’extension . On détermine donc ces quantités et on montre enfin comment les indices d’unités qui interviennent dans la formule obtenue gouvernent directement la -structure galoisienne du groupe des unités de .
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TY - JOUR AU - Jaulent, Jean-François TI - Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n\ell ^s$ sur un corps de nombres algébriques JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1981 SP - 39 EP - 62 VL - 31 IS - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.816/ DO - 10.5802/aif.816 LA - fr ID - AIF_1981__31_1_39_0 ER -
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Jaulent, Jean-François. Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n\ell ^s$ sur un corps de nombres algébriques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 1, pp. 39-62. doi : 10.5802/aif.816. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.816/
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