no. 4
Note à propos d'une conjecture de H.J. Godwin sur les unités des corps cubiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 1-6.

On démontre, à partir de résultats de H.J. Godwin, H. Brunotte et F. Halter-Koch, le théorème suivant : soit K un corps cubique cyclique de conducteur m dont le groupe de Galois G est engendré par σ; soit E le groupe des unités de norme 1.

Soit ε∈E, ε≠1, telle que 𝒮(ε)=1 2[(ε-ε σ ) 2 +(ε σ -ε σ 2 ) 2 +(ε σ 2 -ε) 2 ] soit minimum. Alors ε est un Z[G]-générateur de E.

We show, from results of H.J. Godwin, H. Brunotte and F. Halter-Koch, the following property: Let K be a cubic cyclic field of conductor m, with Galois group G generated by σ; let E be the group of units of norm 1.

Let ε∈E, ε≠1, be such that 𝒮(ε)=1 2[(ε-ε σ ) 2 +(ε σ -ε σ 2 ) 2 +(ε σ 2 -ε) 2 ] is minimal. Then ε is a Z[G]-generator of E.

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[1] H. Brunotte, F. Halter-Koch, Zur Einheitenberechnung in totalreellen kubischen Zahlkörpern nach Godwin, Journal of Number Theory, 11, fasc. 4 (1979), 552-559. | MR | Zbl

[2] H. J. Godwin, The determination of units in totally real cubic fields, Proc. Cambridge Philos. Soc., 56 (1960), 318-321. | MR | Zbl

[3] M. N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q, J. Reine Angew. Math., 277 (1975), 89-116. | MR | Zbl

[4] M. N. Gras, Sur les corps cubiques dont l'anneau des entiers est monogène, Ann. Scient. Univ. Besançon, fasc. 6 (1973), 1-26. | Zbl

[5] H. Hasse, Arithmetische Bestimmung von Grundeinheit und Klassenzahl in zyklischen kubischen und biquadratischen Zahlkörpern, Abhandlungen der Deutscher Akademie der Wissenschaften zu Berlin, n° 2 (1948), 1-95. | Zbl

Cité par Sources :