no. 3
On some ergodic properties for continuous and affine functions
Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 209-215.

On résoud deux problèmes posés par Choquet et Foias:

(i) Soit T un opérateur linéaire positif sur l’espace C(X) des fonctions réelles continues sur un espace compact X. On montre que si la suite des moyennes n -1 ∑ r=0 n-1 T r 1 converge vers une fonction continue, la convergence est uniforme.

(ii) On donne un exemple de simplexe de Choquet X et d’un opérateur linéaire positif T sur l’espace A(K) des fonctions réelles affines continues sur K, telles que

inf {(Tn1)(x):n≥}<1

pour tout x de ∂ ℓ K, bien que ∥T n 1∥ ne converge pas vers 0.

Two problems posed by Choquet and Foias are solved:

(i) Let T be a positive linear operator on the space C(X) of continuous real-valued functions on a compact Hausdorff space X. It is shown that if n -1 ∑ r=0 n-1 T r 1 converges pointwise to a continuous limit, then the convergence is uniform on X.

(ii) An example is given of a Choquet simplex K and a positive linear operator T on the space A(K) of continuous affine real-valued functions on K, such that

inf {(Tn1)(x):n≥}<1

for each x in ∂ ℓ K, but ∥T n 1∥ does not converge to 0.

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[1] G. Choquet and C. Foias, Solution d'un problème sur les itérés d'un opérateur positif sur C (K) et propriétés de moyennes associées, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 24, no. 3 & 4 (1975), 109-129. | Numdam | MR | Zbl

[2] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, 2nd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1969. | Zbl

Cité par Sources :