Crystalline representations and Wach modules in the relative case

Abhinandan

doi:10.5802/aif.3670

Crystalline representations and Wach modules in the relative case
[Représentations cristallines et modules de Wach dans le cas relatif]

Abhinandan ¹

¹ 3 Chome-8-1 Komaba, Meguro City (Tokyo)

Annales de l'Institut Fourier, Online first, 96 p.

Résumé
Abstract

Nous étudions la notion de module de Wach dans le cas relatif en généralisant le cas arithmétique. Sur une base non-ramifiée, pour une représentation $p$ -adique admettant une telle structure, nous examinons la relation entre son module de Wach relatif et son $(φ, \partial)$ -module filtré. De plus, nous montrons qu’une telle représentation est cristalline (au sens de Faltings–Brinon) et que l’on récupère son $(φ, \partial)$ -module filtré à partir du module de Wach relatif. Réciproquement, pour les poids faibles de Hodge–Tate $[0, p - 2]$ , nous construisons des modules de Wach relatifs à partir de modules libres de Fontaine–Laffaille relatifs (au sens de Faltings).

We study the notion of Wach modules in the relative setting, generalizing the arithmetic case. Over an unramified base, for a $p$ -adic representation admitting such structure, we examine the relationship between its relative Wach module and filtered $(φ, \partial)$ -module. Moreover, we show that such a representation is crystalline (in the sense of Faltings-Brinon), and one can recover its filtered $(φ, \partial)$ -module from the relative Wach module. Conversely, for low Hodge-Tate weights $[0, p - 2]$ , we construct relative Wach modules from free relative Fontaine-Laffaille modules (in the sense of Faltings).

Reçu le : 2022-03-27
Révisé le : 2022-10-13
Accepté le : 2022-11-10
Première publication : 2024-07-03

DOI : 10.5802/aif.3670

Classification : 11F80, 11S25, 14F30
Keywords: $p$-adic Hodge theory, $p$-adic representations, $(\varphi , \Gamma )$-modules.
Mot clés : Théorie de Hodge $p$-adique, représentations $p$-adique, $(\varphi , \Gamma )$-modules.

Affiliations des auteurs :

Abhinandan ¹

¹ 3 Chome-8-1 Komaba, Meguro City (Tokyo)

@unpublished{AIF_0__0_0_A106_0,
     author = {Abhinandan},
     title = {Crystalline representations and {Wach} modules in the relative case},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     year = {2024},
     doi = {10.5802/aif.3670},
     language = {en},
     note = {Online first},
}

TY  - UNPB
AU  - Abhinandan
TI  - Crystalline representations and Wach modules in the relative case
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2024
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
N1  - Online first
DO  - 10.5802/aif.3670
LA  - en
ID  - AIF_0__0_0_A106_0
ER  -

%0 Unpublished Work
%A Abhinandan
%T Crystalline representations and Wach modules in the relative case
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2024
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%Z Online first
%R 10.5802/aif.3670
%G en
%F AIF_0__0_0_A106_0

Abhinandan. Crystalline representations and Wach modules in the relative case. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 96 p.

Bibliographie
Cité par

[1] Abhinandan Représentations de hauteur finie et complexe syntomique, Ph. D. Thesis, Université de Bordeaux (2021)

[2] Abhinandan Syntomic complex and $p$ -adic nearby cycles (2023) | arXiv

[3] Andreatta, Fabrizio Generalized ring of norms and generalized $(ϕ, Γ)$ -modules, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 39 (2006) no. 4, pp. 599-647 | DOI | MR | Zbl

[4] Andreatta, Fabrizio; Iovita, Adrian Global applications of relative $(φ, Γ)$ -modules. I, Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques. I. Représentations galoisiennes et $(φ, Γ)$ -modules (Astérisque), Société Mathématique de France, 2008 no. 319, pp. 339-420 | MR | Zbl

[5] Benois, Denis On Iwasawa theory of crystalline representations, Duke Math. J., Volume 104 (2000) no. 2, pp. 211-267 | DOI | MR | Zbl

[6] Benois, Denis; Berger, Laurent Théorie d’Iwasawa des représentations cristallines. II, Comment. Math. Helv., Volume 83 (2008) no. 3, pp. 603-677 | DOI | MR | Zbl

[7] Berger, Laurent Limites de représentations cristallines, Compos. Math., Volume 140 (2004) no. 6, pp. 1473-1498 | DOI | MR | Zbl

[8] Berger, Laurent; Breuil, Christophe Sur quelques représentations potentiellement cristallines de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , Représentations $p$ -adiques de groupes $p$ -adiques II: Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules (Astérisque), Société Mathématique de France, 2010 no. 330, pp. 155-211 | Numdam | MR | Zbl

[9] Berthelot, Pierre Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique $p > 0$ , Lecture Notes in Mathematics, 407, Springer, 1974, 604 pages | MR | Zbl

[10] Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1978, vi+243 pages | DOI | MR | Zbl

[11] Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter Prisms and prismatic cohomology, Ann. Math., Volume 196 (2022) no. 3, pp. 1135-1275 | DOI | MR | Zbl

[12] Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter Prismatic $F$ -crystals and crystalline Galois representations, Camb. J. Math., Volume 11 (2023) no. 2, pp. 507-562 | DOI | MR | Zbl

[13] Bosch, Siegfried; Güntzer, Ulrich; Remmert, Reinhlod Non-Archimedean analysis. A systematic approach to rigid analytic geometry, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 261, Springer, 1984, xii+436 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Brinon, Olivier Représentations $p$ -adiques cristallines et de de Rham dans le cas relatif, Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. (2008) no. 112, p. vi+159 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[15] Colmez, Pierre Représentations cristallines et représentations de hauteur finie, J. Reine Angew. Math., Volume 514 (1999), pp. 119-143 | DOI | MR | Zbl

[16] Colmez, Pierre; Fontaine, Jean-Marc Construction des représentations $p$ -adiques semi-stables, Invent. Math., Volume 140 (2000) no. 1, pp. 1-43 | DOI | MR | Zbl

[17] Colmez, Pierre; Nizioł, Wiesława Syntomic complexes and $p$ -adic nearby cycles, Invent. Math., Volume 208 (2017) no. 1, pp. 1-108 | DOI | MR | Zbl

[18] Du, Heng; Liu, Tong; Moon, Yong Suk; Shimizu, Koji Completed prismatic $F$ -crystals and crystalline $Z_{p}$ -local systems (2022) | arXiv

[19] Faltings, Gerd Crystalline cohomology and $p$ -adic Galois-representations, Algebraic analysis, geometry, and number theory (Baltimore, MD, 1988), Johns Hopkins Univ. Press, 1989, pp. 25-80 | MR | Zbl

[20] Fontaine, Jean-Marc Sur certains types de représentations $p$ -adiques du groupe de Galois d’un corps local; construction d’un anneau de Barsotti-Tate, Ann. Math., Volume 115 (1982) no. 3, pp. 529-577 | DOI | MR | Zbl

[21] Fontaine, Jean-Marc Représentations $p$ -adiques des corps locaux. I, The Grothendieck Festschrift, Vol. II (Progress in Mathematics), Volume 87, Birkhäuser, 1990, pp. 249-309 | MR | Zbl

[22] Fontaine, Jean-Marc Le corps des périodes $p$ -adiques. With an appendix by Pierre Colmez, Périodes $p$ -adiques. Séminaire du Bures-sur-Yvette, France, 1988 (Astérisque), Société Mathématique de France, 1994 no. 223, pp. 59-111 | MR | Zbl

[23] Fontaine, Jean-Marc; Laffaille, Guy Construction de représentations $p$ -adiques, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 15 (1982) no. 4, pp. 547-608 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[24] Fontaine, Jean-Marc; Wintenberger, Jean-Pierre Extensions algébrique et corps des normes des extensions APF des corps locaux, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 288 (1979) no. 8, p. A441-A444 | MR | Zbl

[25] Fontaine, Jean-Marc; Wintenberger, Jean-Pierre Le “corps des normes” de certaines extensions algébriques de corps locaux, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 288 (1979) no. 6, p. A367-A370 | MR | Zbl

[26] Gros, Michel; Le Stum, Bernard; Quirós, Adolfo Twisted differential operators and $q$ -crystals, $p$ -adic Hodge theory, singular varieties, and non-abelian aspects (Simons Symposia), Springer, 2023, pp. 183-238 | DOI | MR

[27] Grothendieck, Alexander Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. I: Exposés 1 à 5, Institut des Hautes Études Scientifiques, 1963, iv+143 pages (troisième édition, corrigée, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61) | MR

[28] Guo, Haoyang; Reinecke, Emanuel A prismatic approach to crystalline local systems (2022) | arXiv

[29] Kedlaya, Kiran S.; Liu, Ruochuan Relative $p$ -adic Hodge theory: foundations, Astérisque, Société Mathématique de France, 2015 no. 371, 239 pages | MR | Zbl

[30] Matsumura, Hideyuki Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, 1986, xiv+320 pages | MR | Zbl

[31] Moon, Yong Suk Relative crystalline representations and weakly admissible modules (2018) | arXiv

[32] Morrow, Matthew; Tsuji, Takeshi Generalised representations as q-connections in integral $p$ -adic Hodge theory (2020) | arXiv

[33] Scholze, Peter Perfectoid spaces, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 116 (2012), pp. 245-313 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[34] Scholze, Peter Canonical $q$ -deformations in arithmetic geometry, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 26 (2017) no. 5, pp. 1163-1192 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[35] Tsuji, Takeshi $p$ -adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case, Invent. Math., Volume 137 (1999) no. 2, pp. 233-411 | DOI | MR | Zbl

[36] Tsuji, Takeshi Crystalline $ℤ_{p}$ -representations and $A_{\inf}$ -Representations with Frobenius, $p$ -adic Hodge theory. Proceeedings in Simons Symposium (Simons Symposia), Springer, 2020, pp. 161-319 | DOI | Zbl

[37] Wach, Nathalie Représentations $p$ -adiques potentiellement cristallines, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 124 (1996) no. 3, pp. 375-400 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[38] Wach, Nathalie Représentations cristallines de torsion, Compos. Math., Volume 108 (1997) no. 2, pp. 185-240 | DOI | MR | Zbl

[39] Wintenberger, Jean-Pierre Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux; applications, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 16 (1983) no. 1, pp. 59-89 | DOI | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT