no. 1
Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade
Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 171-251.

Dans la première partie du travail, l’auteur étudie les fonctions harmoniques associées à un processus en cascade sans disparition d’individus. Il achève la caractérisation des fonctions harmoniques positives extrémales, entreprise dans deux articles précédents et il détermine le comportement asymptotique de celles-ci. Un certain nombre d’exemples de fonctions harmoniques sont décrits. La deuxième partie du travail porte sur les fonctions harmoniques positives qui sont des fonctionnelles linéaires sur l’espace C k [0,1], les génératrices extrémales de ce cône sont précisées. La troisième partie introduit l’équation fonctionnelle de Schröder ou son équivalent, l’équation d’Abel. L’auteur fait une analyse fine de cette équation. Dans la dernière partie, sous la seule hypothèse que le processus a une moyenne finie plus grande que un, il est vérifié que l’on peut trouver une suite M n telle que la croissance de la population normalisée par M n :Z n M n tend en distribution vers une variable aléatoire absolument continue. Le tout se termine par une étude sommaire des processus en cascade qui peuvent être plongés dans le temps continu.

The author begins by studying harmonic (regular) functions of a branching process. He characterizes extreme positive harmonic functions and describes their asymptotic behaviour. Various examples of harmonic functions are given. The second part of the study is about harmonic functions which are linear functional on C k [0,1], extreme rays of this cone are found. In the third part, a fine analysis of Schröder’s (or Abel’s) functional equation is done. The last section gives the proof that for a given supercritical branching process, there is a sequence of numbers M n such that the growth of the normalized population Z n M n converges in distribution to an absolutely continuous time branching processes.

@article{AIF_1971__21_1_171_0,
     author = {Dubuc, Serge},
     title = {Probl\`emes relatifs \`a l'it\'eration de fonctions sugg\'er\'es par les processus en cascade},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {171--251},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {21},
     number = {1},
     year = {1971},
     doi = {10.5802/aif.365},
     zbl = {0196.12801},
     mrnumber = {45 #6083},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.365/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dubuc, Serge
TI  - Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1971
SP  - 171
EP  - 251
VL  - 21
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.365/
DO  - 10.5802/aif.365
LA  - fr
ID  - AIF_1971__21_1_171_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dubuc, Serge
%T Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1971
%P 171-251
%V 21
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.365/
%R 10.5802/aif.365
%G fr
%F AIF_1971__21_1_171_0
Dubuc, Serge. Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade. Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 171-251. doi : 10.5802/aif.365. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.365/

[1] J.N. Baker, Zusammensetzungen ganzer Functionen Math.Zeitschr. Bd 69, (1958), 121-163. | EuDML | Zbl

[2] H. Bauer, Silovscher Rand und Dirichletsches Problem, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11, (1961), 89-136. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] L. Berg, Unstetige, monotone Iterations gruppen reeler Functionen, Pub. Math. Debrecen 9, (1962), 47-56. | MR | Zbl

[4] N. Bourbaki, Integration Livre VI, Hermann, Paris.

[5] G. Choquet et P.A. Meyer, Existence et unicité des représentations intégrales dans les convexes compacts quelconques. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) (1963), 139-154. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[6] J. Deny, Familles fondamentales. Noyaux associés. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 3, (1951), 73-101. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[7] S. Dubuc, Positive Harmonic Functions of a Branching Process, Proc. Amer. Math. Soc. 21, (1969), 324-326. | MR | Zbl

[8] S. Dubuc, La fonction de Green d'un processus de Galton-Watson, Studia Math. vol. 34, N° 1, (1969). | EuDML | MR | Zbl

[9] M.P. Fatou, Sur l'itération analytique et les substitutions permutables, J. Math. pures et appl. 9ème série, t. 2, (1923), 343-384, et t. 3, (1924), 1-49. | EuDML | JFM

[10] W. Feller, An introduction to Probability Theory and its Applications, vol. II, John Wiley and Sons, New York. | MR | Zbl

[11] J. Hadamard, Two works on iteration and related questions, Bull. Amer. Math. Soc. 50, (1944), 67-75. | MR | Zbl

[12] T.E. Harris, The theory of Branching Process, Springer-Verlag (1963). | MR | Zbl

[13] G. Julia, Mémoire sur la permutabilité des fonctions rationnelles, Ann. Sc. de l'Ecole Norm. Sup. (3) 39 (1922), 131-215. | EuDML | JFM | Numdam | MR

[14] H. Kesten et B.P. Stigum, A limit theorem for multidimensional Galton-Watson processus. Ann. Math. Stat. 37 (1966) 1211-1223. | MR | Zbl

[15] H. Kneser, Reelle analytische Gösungen der Gleichung ϕ(ϕ(x)) = ex und verwandte Funktionalgleichungen, J. Reine angew. Math. 187 (1950) 56-67. | EuDML | MR | Zbl

[16] M.G. Koenigs, Recherches sur les équations fonctionnelles, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. (1884). | JFM | MR

[17] M. Kuczma, On the Schröder equation Rozprawy Matematyczne XXXIV, (1963), 1-50. | EuDML | MR | Zbl

[18] M. Kuczma, Functional equations in a single variable, Ars. Polona, Varsovie. | MR | Zbl

[19] N. Levinson, Limiting theorems for Galton-Watson Branching Process, Illinois J. Math. 3, (1959), 554-565. | MR | Zbl

[20] P. Levy, Fonctions à croissance régulière et itération d'ordre fonctionnaire, Ann. Mat. Pura App. (4) 5 (1928), 269-298. | JFM

[21] A. Lundberg, On iterated functions with asymptotic conditions at a fixpoint, Arkiv. för Mat. Bd 5, (1965), 193-206. | MR | Zbl

[22] P.A. Meyer, Probabilités et Potentiel, Hermann, Paris. | Zbl

[23] H. Michel, Untersuchungen über stetige, monotone Iterations-gruppen reeller Functionen ohne Differenzierbarkeit voraussetzungen, Pub. Math. Debrecen 9, (1962), 13-46. | Zbl

[24] P. Montel, Leçons sur les récurrences et leurs applications, Gauthier-Villars, Paris (1957). | MR | Zbl

[25] R.R. Phelps, Lectures on Choquet's theorem, Van Nostrand, Princeton. | MR | Zbl

[26] E. Picard, Leçons sur quelques équations fonctionnelles, Gauthier-Villars, Paris (1950). | Zbl

[27] J.G. Ritt, On the iteration of rational functions, Trans. Amer. Math. Soc. 21, (1920), 348-356. | JFM | MR

[28] F. Spitzer, Principles of Random Walk, Van Nostrand, Princeton. | MR | Zbl

[29] B.P. Stigum, A theorem in the Galton-Watson Process, Ann. Math. Stat. 37, (1966), 695-698. | MR | Zbl

[30] G. Szekeres, Regular Iteration of Real and Complex Functions, Acta Math. 100 (1958), 203-258. | MR | Zbl

[31] A.G. Walker, Commutative functions I, Quart J. Math. (Oxford) 17, (1945), 66-82. | MR | Zbl

Cité par Sources :