Spécialisation du groupoïde de Galois d’un champ de vecteurs
[Specialisation of the Galois Groupoid of a vector field]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 72 (2022) no. 6, pp. 2399-2447.

We prove lower semicontinuity of the Galois groupoid of a vector field depending on parameters. Apply to Painlevé equations, this result can be used to compute their Galois groupoids for general values of parameters.

Nous montrons un résultat de “ semi-continuité ” du groupoïde de Galois d’un champ de vecteurs dépendant d’un paramètre. Appliqué aux équations de Painlevé, ce résultat nous permet de calculer le groupoïde de Galois de ces équations pour des valeurs générales des paramètres.

Received:
Revised:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.5802/aif.3506
Classification: 12H05,  34M55
Keywords: Differential equations, irreducibility, Galois groupoid.
Casale, Guy 1; Davy, Damien 1

1 Univ Rennes, CNRS, IRMAR-UMR 6625, F-35000 Rennes (France)
License: CC-BY-ND 4.0
Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights
@article{AIF_2022__72_6_2399_0,
     author = {Casale, Guy and Davy, Damien},
     title = {Sp\'ecialisation du groupo{\"\i}de de {Galois} d{\textquoteright}un champ de vecteurs},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2399--2447},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {72},
     number = {6},
     year = {2022},
     doi = {10.5802/aif.3506},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3506/}
}
TY  - JOUR
AU  - Casale, Guy
AU  - Davy, Damien
TI  - Spécialisation du groupoïde de Galois d’un champ de vecteurs
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2022
DA  - 2022///
SP  - 2399
EP  - 2447
VL  - 72
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3506/
UR  - https://doi.org/10.5802/aif.3506
DO  - 10.5802/aif.3506
LA  - fr
ID  - AIF_2022__72_6_2399_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Casale, Guy
%A Davy, Damien
%T Spécialisation du groupoïde de Galois d’un champ de vecteurs
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2022
%P 2399-2447
%V 72
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://doi.org/10.5802/aif.3506
%R 10.5802/aif.3506
%G fr
%F AIF_2022__72_6_2399_0
Casale, Guy; Davy, Damien. Spécialisation du groupoïde de Galois d’un champ de vecteurs. Annales de l'Institut Fourier, Volume 72 (2022) no. 6, pp. 2399-2447. doi : 10.5802/aif.3506. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3506/

[1] André, Yves Différentielles non commutatives et théorie de Galois différentielle ou aux différences, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 34 (2001) no. 5, pp. 685-739 | DOI | MR | Zbl

[2] Bertrand, Daniel Groupes algébriques et équations différentielles linéaires, Astérisque (1992) no. 206, pp. 183-204 (Séminaire Bourbaki, Vol. 1991/92, Exp. No. 750, 4) | DOI | MR | Zbl

[3] Białynicki-Birula, A. On Galois theory of fields with operators, Amer. J. Math., Volume 84 (1962), pp. 89-109 | DOI | MR | Zbl

[4] Bonnet, Philippe Minimal invariant varieties and first integrals for algebraic foliations, Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.), Volume 37 (2006) no. 1, pp. 1-17 | DOI | MR | Zbl

[5] Cantat, Serge; Loray, Frank Dynamics on character varieties and Malgrange irreducibility of Painlevé VI equation, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2927-2978 | DOI | MR | Zbl

[6] Cartan, Elie Les sous-groupes des groupes continus de transformations, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Volume 25 (1908), pp. 57-194 | DOI | MR

[7] Casale, Guy The Galois groupoid of Picard–Painlevé VI equation, Algebraic, analytic and geometric aspects of complex differential equations and their deformations. Painlevé hierarchies (RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B2), Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2007, pp. 15-20 | MR | Zbl

[8] Casale, Guy Le groupoïde de Galois de P 1 et son irréductibilité, Comment. Math. Helv., Volume 83 (2008) no. 3, pp. 471-519 | DOI | MR | Zbl

[9] Casale, Guy Une preuve galoisienne de l’irréductibilité au sens de Nishioka–Umemura de la première équation de Painlevé, Astérisque (2009) no. 323, pp. 83-100 | DOI | MR | Zbl

[10] Casale, Guy; Weil, Jacques-Arthur Galoisian methods for testing irreducibility of order two nonlinear differential equations, Pacific J. Math., Volume 297 (2018) no. 2, pp. 299-337 | DOI | MR | Zbl

[11] Drach, Jules Essai sur la théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Volume 15 (1898), pp. 243-384 | MR

[12] Drach, Jules Sur le groupe de rationalité des équations du second ordre de M. Painlevé, Bull. Sci. Math., Volume 39 (1915), pp. 149-166

[13] Goldman, Lawrence Specialization and Picard–Vessiot theory, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 85 (1957), pp. 327-356 | DOI | MR | Zbl

[14] Kitaev, A. V.; Law, C. K.; McLeod, J. B. Rational solutions of the fifth Painlevé equation, Differential Integral Equations, Volume 7 (1994) no. 3-4, pp. 967-1000 | MR | Zbl

[15] Kolchin, E. R. Differential algebra and algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, 54, Academic Press, New York-London, 1973, xviii+446 pages | MR | Zbl

[16] Lisovyy, Oleg; Tykhyy, Yuriy Algebraic solutions of the sixth Painlevé equation, J. Geom. Phys., Volume 85 (2014), pp. 124-163 | DOI | MR | Zbl

[17] Malgrange, Bernard Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics, Vol. 1, 2 (Monogr. Enseign. Math.), Volume 38, Enseignement Math., Geneva, 2001, pp. 465-501 | MR

[18] Murata, Yoshihiro Classical solutions of the third Painlevé equation, Nagoya Math. J., Volume 139 (1995), pp. 37-65 | DOI | MR | Zbl

[19] Nishioka, Keiji A note on the transcendency of Painlevé’s first transcendent, Nagoya Math. J., Volume 109 (1988), pp. 63-67 | DOI | MR | Zbl

[20] Noumi, Masatoshi; Okamoto, Kazuo Irreducibility of the second and the fourth Painlevé equations, Funkcial. Ekvac., Volume 40 (1997) no. 1, pp. 139-163 | MR | Zbl

[21] Ohyama, Yousuke; Okumura, Shoji A coalescent diagram of the Painlevé equations from the viewpoint of isomonodromic deformations, J. Phys. A, Volume 39 (2006) no. 39, pp. 12129-12151 | DOI | MR | Zbl

[22] Okamoto, Kazuo Polynomial Hamiltonians associated with Painlevé equations. I, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., Volume 56 (1980) no. 6, pp. 264-268 | DOI | MR | Zbl

[23] Olver, Peter J. Equivalence, invariants, and symmetry, Cambridge University Press, Cambridge, 1995, xvi+525 pages | DOI | MR

[24] Painlevé Mémoire sur les équations différentielles dont l’intégrale générale est uniforme, Bull. Soc. Math., Volume 28 (1900), pp. 201-261 | DOI

[25] Painlevé Démonstration de l’irréductibilité absolue de l’équation y xx =6y 2 +x, C.R. Acad. Sci. Paris, Volume 135 (1902), pp. 641-647

[26] Painlevé Leçons de Stockholm (1875), Œuvres complète Tome 1, Éditions du CNRS, 1972

[27] Picard, Émile Sur les équations différentielles linéaires et les groupes algébriques de transformations, Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys., Volume 1 (1887) no. 1, p. A1-A15 | MR

[28] Singer, Michael F. Moduli of linear differential equations on the Riemann sphere with fixed Galois groups, Pacific J. Math., Volume 160 (1993) no. 2, pp. 343-395 | DOI | MR | Zbl

[29] Umemura, Hiroshi On the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Algebraic geometry and commutative algebra, Vol. II, Kinokuniya, Tokyo, 1988, pp. 771-789 | MR | Zbl

[30] Umemura, Hiroshi Second proof of the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Nagoya Math. J., Volume 117 (1990), pp. 125-171 | DOI | MR | Zbl

[31] Umemura, Hiroshi Differential Galois theory of infinite dimension, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 59-135 | DOI | MR | Zbl

[32] Umemura, Hiroshi; Watanabe, Humihiko Solutions of the second and fourth Painlevé equations. I, Nagoya Math. J., Volume 148 (1997), pp. 151-198 | DOI | MR | Zbl

[33] Umemura, Hiroshi; Watanabe, Humihiko Solutions of the third Painlevé equation. I, Nagoya Math. J., Volume 151 (1998), pp. 1-24 | DOI | MR | Zbl

[34] Vessiot, Ernest Sur la théorie de Galois et ses diverses généralisations, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Volume 21 (1904), pp. 9-85 | DOI | MR

[35] Vessiot, Ernest Sur la réductibilité et l’intégration des systèmes complets, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Volume 29 (1912), pp. 209-278 | DOI | MR

[36] Watanabe, Humihiko Solutions of the fifth Painlevé equation. I, Hokkaido Math. J., Volume 24 (1995) no. 2, pp. 231-267 | DOI | MR | Zbl

[37] Watanabe, Humihiko Birational canonical transformations and classical solutions of the sixth Painlevé equation, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume 27 (1998) no. 3-4, pp. 379-425 | MR | Zbl

Cited by Sources: