no. 6
Braid groups of normalizers of reflection subgroups
[Groupes de tresses de normalisateurs de sous-groupes de réflexions]
Gobet, Thomas1 ; Henderson, Anthony2 ; Marin, Ivan3
1 Institut Denis Poisson, CNRS UMR 7013 Faculté des Sciences et Techniques Université de Tours Parc de Grandmont 37200 Tours, (France)
2 Sydney Mathematical Research Institute A14 University of Sydney NSW 2006, (Australia)
3 Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée, CNRS UMR 7352 Université de Picardie Jules Verne 33 rue Saint Leu 80039 Amiens, (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 71 (2021) no. 6, pp. 2273-2304.

Soit W 0 un sous-groupe de réflexions d’un groupe de réflexions complexe fini W, et soient B 0 et B leurs groupes de tresses respectifs. Dans le but de construire une algèbre de Hecke H ˜ 0 associée au normalisateur N W (W 0 ), on considère dans un premier temps un sous-quotient naturel B ˜ 0 de B qui est une extension de N W (W 0 )/W 0 par B 0 . On prouve que cette extension est scindée lorsque W est un groupe de Coxeter, ce qui permet de construire une base standard de l’algèbre de Hecke H ˜ 0 . Dans le cas des groupes de réflexions complexes finis qui ne sont pas des groupes de Coxeter, on donne des exemples de cas de figure où l’extension est scindée, ainsi que d’autres exemples où elle ne l’est pas.

Let W 0 be a reflection subgroup of a finite complex reflection group W, and let B 0 and B be their respective braid groups. In order to construct a Hecke algebra H ˜ 0 for the normalizer N W (W 0 ), one first considers a natural subquotient B ˜ 0 of B which is an extension of N W (W 0 )/W 0 by B 0 . We prove that this extension is split when W is a Coxeter group, and deduce a standard basis for the Hecke algebra H ˜ 0 . We also give classes of both split and non-split examples in the non-Coxeter case.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Première publication :
Publié le :
DOI : 10.5802/aif.3440
Classification : 20F36, 20F55, 20C08
Keywords: Braid groups, reflection groups, Coxeter groups, Hecke algebras
Mot clés : Groupes de tresses, groupes de réflexions, groupes de Coxeter, algèbres de Hecke
Gobet, Thomas 1 ; Henderson, Anthony 2 ; Marin, Ivan 3

1 Institut Denis Poisson, CNRS UMR 7013 Faculté des Sciences et Techniques Université de Tours Parc de Grandmont 37200 Tours, (France)
2 Sydney Mathematical Research Institute A14 University of Sydney NSW 2006, (Australia)
3 Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée, CNRS UMR 7352 Université de Picardie Jules Verne 33 rue Saint Leu 80039 Amiens, (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{AIF_2021__71_6_2273_0,
     author = {Gobet, Thomas and Henderson, Anthony and Marin, Ivan},
     title = {Braid groups of normalizers of reflection subgroups},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2273--2304},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {71},
     number = {6},
     year = {2021},
     doi = {10.5802/aif.3440},
     zbl = {07554448},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3440/}
}
TY  - JOUR
AU  - Gobet, Thomas
AU  - Henderson, Anthony
AU  - Marin, Ivan
TI  - Braid groups of normalizers of reflection subgroups
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2021
SP  - 2273
EP  - 2304
VL  - 71
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3440/
DO  - 10.5802/aif.3440
LA  - en
ID  - AIF_2021__71_6_2273_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gobet, Thomas
%A Henderson, Anthony
%A Marin, Ivan
%T Braid groups of normalizers of reflection subgroups
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2021
%P 2273-2304
%V 71
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3440/
%R 10.5802/aif.3440
%G en
%F AIF_2021__71_6_2273_0
Gobet, Thomas; Henderson, Anthony; Marin, Ivan. Braid groups of normalizers of reflection subgroups. Annales de l'Institut Fourier, Tome 71 (2021) no. 6, pp. 2273-2304. doi : 10.5802/aif.3440. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3440/

[1] Bessis, David Finite complex reflection arrangements are K(π,1), Ann. Math., Volume 181 (2015) no. 3, 809–904 | MR | Zbl

[2] Bourbaki, Nicolas Éléments de mathématique. Fasc. XXXIV. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres IV, V et VI : Groupes de Coxeter et systèmes de Tits. Groupes engendrés par des réflexions. Systèmes de racines., Actualités Scientifiques et Industrielles, 1337, Hermann, 1968 | Zbl

[3] Brieskorn, Egbert Die Fundamentalgruppe des Raumes der regulären Orbits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe, Invent. Math., Volume 12 (1971), pp. 57-61 | DOI | Zbl

[4] Brink, Brigitte; Howlett, Robert B. Normalizers of parabolic subgroups in Coxeter groups, Invent. Math., Volume 136 (1999) no. 2, pp. 323-351 | DOI | MR | Zbl

[5] Broué, Mchel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras, J. Reine Angew. Math., Volume 500 (1998), pp. 127-190 | MR | Zbl

[6] Dyer, Matthew Reflection subgroups of Coxeter systems, J. Algebra, Volume 135 (1990) no. 1, pp. 57-73 | DOI | MR | Zbl

[7] Howlett, Robert B. Normalizers of parabolic subgroups of reflection groups, J. Lond. Math. Soc., Volume 21 (1980) no. 1, pp. 62-80 | DOI | MR | Zbl

[8] van der Lek, Harm The homotopy type of complex hyperplane complements, Ph. D. Thesis, Radboud University Nijmegen, Nijmegen, Netherlands (1983)

[9] MacLane, Saunders Categories for the working mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5, Springer, 1978 | DOI | Zbl

[10] Marin, Ivan Artin groups and Yokonuma–Hecke algebras, Int. Math. Res. Not., Volume 2018 (2018) no. 13, pp. 4022-4062 | MR | Zbl

[11] Marin, Ivan Lattice extensions of Hecke algebras, J. Algebra, Volume 503 (2018), pp. 104-120 | DOI | MR | Zbl

[12] Muraleedaran, Krishnasamy; Taylor, Donald E. Normalisers of parabolic subgroups in finite unitary reflection groups, J. Algebra, Volume 504 (2018), pp. 479-505 | DOI | MR | Zbl

[13] Salvetti, Mario The homotopy type of Artin groups, Math. Res. Lett., Volume 1 (1994) no. 5, pp. 565-577 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :