no. 5

Finite presheaves and 𝒜-finite generation of unstable algebras mod nilpotents
[Préfaisceaux finis et algèbres instables 𝒜-finiment engendrées à nilpotents près]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 5, pp. 2169-2204.

En s’inspirant du travail de Henn, Lannes et Schwartz sur la catégorie des algèbres instables sur l’algèbre de Steenrod localisée loin des nilpotents, une caractérisation des algèbres instables qui sont 𝒜-finiment engendrées à nilpotents près est donnée en termes du préfaisceau associé en utilisant la notion d’un préfaisceau fini, qui est introduite dans cet article. Ceci permet une caractérisation naturelle des préfaisceaux (co)analytiques qui sont fondamentaux dans la théorie de Henn, Lannes et Schwartz. Une classe importante de préfaisceaux finis est fournie par les algèbres instables de degré de transcendance fini.

Pour les algèbres de Hopf instables, il est démontré que le préfaisceau associé est fini si et seulement si sa fonction de croissance est polynomiale. En particulier, ceci mène à une description de la catégorie des algèbres de Hopf, instables localisées loin des nilpotents.

Inspired by the work of Henn, Lannes and Schwartz on unstable algebras over the Steenrod algebra modulo nilpotents, a characterization of unstable algebras that are 𝒜-finitely generated up to nilpotents is given in terms of the associated presheaf. We do this by introducing the notion of a finite presheaf. In particular, this gives the natural characterization of the (co)analytic presheaves that are important in the theory of Henn, Lannes and Schwartz. An important source of examples is provided by unstable algebras of finite transcendence degree.

For unstable Hopf algebras, it is shown that the associated presheaf is finite if and only if its growth function is polynomial. This leads to a description of unstable Hopf algebras modulo nilpotents in the spirit of Henn, Lannes and Schwartz.

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DOI : https://doi.org/10.5802/aif.3292
Classification : 55S10,  55U99
Mots clés : algèbre instable, nilpotents, algèbre de Steenrod, finiment engendré, algèbre de Hopf instable, préfaisceau, foncteur polynomial 
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     author = {Powell, Geoffrey},
     title = {Finite presheaves and $\protect \mathscr{A}$-finite generation of unstable algebras mod nilpotents},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2169--2204},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {69},
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Powell, Geoffrey. Finite presheaves and $\protect \mathscr{A}$-finite generation of unstable algebras mod nilpotents. Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 5, pp. 2169-2204. doi : 10.5802/aif.3292. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3292/

[1] Baues, Hans-Joachim; Pirashvili, Teimuraz Quadratic endofunctors of the category of groups, Adv. Math., Tome 141 (1999) no. 1, pp. 167-206 | Article | MR 1667150 | Zbl 0923.20042

[2] Castellana, Natàlia; Crespo, Juan A.; Scherer, Jérôme Deconstructing Hopf spaces, Invent. Math., Tome 167 (2007) no. 1, pp. 1-18 | Article | MR 2264802 | Zbl 1109.55005

[3] Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders Cohomology theory of Abelian groups and homotopy theory. II, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Tome 36 (1950), pp. 657-663 | Article | MR 0039252 | Zbl 0039.19002

[4] Grodal, Jesper The transcendence degree of the mod p cohomology of finite Postnikov systems, Stable and unstable homotopy (Toronto, ON, 1996) (Fields Institute Communications) Tome 19, American Mathematical Society, 1998, pp. 111-130 | MR 1622342 | Zbl 0905.55012

[5] Henn, Hans-Werner; Lannes, Jean; Schwartz, Lionel The categories of unstable modules and unstable algebras over the Steenrod algebra modulo nilpotent objects, Am. J. Math., Tome 115 (1993) no. 5, pp. 1053-1106 | Article | MR 1246184 | Zbl 0805.55011

[6] Kuhn, Nicholas J. Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. I, Am. J. Math., Tome 116 (1994) no. 2, pp. 327-360 | Article | MR 1269607 | Zbl 0813.20049

[7] Kuhn, Nicholas J. Computations in generic representation theory: maps from symmetric powers to composite functors, Trans. Am. Math. Soc., Tome 350 (1998) no. 10, pp. 4221-4233 | Article | MR 1443197 | Zbl 0940.55019

[8] Kuhn, Nicholas J. The Krull filtration of the category of unstable modules over the Steenrod algebra, Math. Z., Tome 277 (2014) no. 3-4, pp. 917-936 | Article | MR 3229972 | Zbl 1298.55010

[9] Lannes, Jean Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un p-groupe abélien élémentaire, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. (1992) no. 75, pp. 135-244 (With an appendix by Michel Zisman) | Article | MR 1179079 | Zbl 0857.55011

[10] Lannes, Jean; Schwartz, Lionel Sur les groupes d’homotopie des espaces dont la cohomologie modulo 2 est nilpotente, Isr. J. Math., Tome 66 (1989) no. 1-3, pp. 260-273 | Article | MR 1017166 | Zbl 0681.55012

[11] Milnor, John W.; Moore, John C. On the structure of Hopf algebras, Ann. Math., Tome 81 (1965), pp. 211-264 | Article | MR 0174052 | Zbl 0163.28202

[12] Moore, John C.; Smith, Larry Hopf algebras and multiplicative fibrations. I, Am. J. Math., Tome 90 (1968), pp. 752-780 | Article | MR 0234455 | Zbl 0214.50201

[13] Moore, John C.; Smith, Larry Hopf algebras and multiplicative fibrations. II, Am. J. Math., Tome 90 (1968), pp. 1113-1150 | Article | MR 0238323 | Zbl 0214.50201

[14] Passi, Inder Bir S. Group rings and their augmentation ideals, Lecture Notes in Mathematics, Tome 715, Springer, 1979, vi+137 pages | MR 537126 | Zbl 0405.20007

[15] Schwartz, Lionel Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1994, x+229 pages | MR 1282727 | Zbl 0871.55001