Principe d’Heisenberg et fonctions positives
[The Heisenberg principle and positive functions]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 4, pp. 1215-1232.

We consider a natural problem concerning Fourier transforms. In one variable, one seeks functions f and f ^, both positive for xa and vanishing at 0. What is the lowest bound for a ? In higher dimension, the same problem can be posed by replacing the interval by a ball of radius a. We show that there is indeed a strictly positive lower bound, which is estimated as a function of the dimension. In the last section the question, and its solution, are shown to be naturally related to the theory of zêta-functions.

On décrit un problème naturel concernant la transformation de Fourier. Soient f, f ^ deux fonctions associées par celle-ci, positives pour xa et nulles en zéro. Quelle est la borne inférieure pour a ? En dimension supérieure, même question, l’intervalle étant remplacé par la boule de rayon a. On montre l’existence d’une borne inférieure strictement positive, qui est estimée en fonction de la dimension. La dernière section montre que cette question est naturellement liée à la théorie des fonctions zêta.

DOI: 10.5802/aif.2552
Classification: 42A38, 42B10, 11R42
Mot clés : transformation de Fourier, fonctions zêta
Keywords: Fourier transforms, zêta-function
Bourgain, Jean 1; Clozel, Laurent 2; Kahane, Jean-Pierre 2

1 School of Mathematics Institute for Advanced Study Princeton, N.J. 08540 (USA)
2 Laboratoire de Mathématique Université Paris–Sud, Bât. 425 91405 Orsay Cedex (France)
@article{AIF_2010__60_4_1215_0,
     author = {Bourgain, Jean and Clozel, Laurent and Kahane, Jean-Pierre},
     title = {Principe {d{\textquoteright}Heisenberg} et fonctions positives},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1215--1232},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {60},
     number = {4},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/aif.2552},
     mrnumber = {2722239},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2552/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bourgain, Jean
AU  - Clozel, Laurent
AU  - Kahane, Jean-Pierre
TI  - Principe d’Heisenberg et fonctions positives
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2010
SP  - 1215
EP  - 1232
VL  - 60
IS  - 4
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2552/
DO  - 10.5802/aif.2552
LA  - fr
ID  - AIF_2010__60_4_1215_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bourgain, Jean
%A Clozel, Laurent
%A Kahane, Jean-Pierre
%T Principe d’Heisenberg et fonctions positives
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2010
%P 1215-1232
%V 60
%N 4
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2552/
%R 10.5802/aif.2552
%G fr
%F AIF_2010__60_4_1215_0
Bourgain, Jean; Clozel, Laurent; Kahane, Jean-Pierre. Principe d’Heisenberg et fonctions positives. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 4, pp. 1215-1232. doi : 10.5802/aif.2552. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2552/

[1] Armitage, J. V. Zeta Functions with a zero at s=1 2, Inv. Math., Volume 15 (1972), pp. 199-205 | DOI | MR | Zbl

[2] Landau, E. Ueber die Klassenzahl imaginaer-quadratischer Zahlkoerper, Goettingen Nachr. (1918), pp. 285-295

[3] Odlyzko, A. M. Lower bounds for discriminants of number fields II, Tôhoku Math. J., Volume 29 (1977), pp. 209-216 | DOI | MR | Zbl

[4] Roquette, P.; Cassels et Fröhlich On class fields towers, Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967, pp. 231-249 | MR

[5] Serre, J.-P. Conducteurs d’Artin des caractères réels, Inv. Math., Volume 14 (1971), pp. 173-183 | DOI | MR | Zbl

[6] Tate, J.; Cassels et Fröhlich Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta–Functions, Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967, pp. 305-347 | MR

Cited by Sources: