We consider a natural problem concerning Fourier transforms. In one variable, one seeks functions and , both positive for and vanishing at . What is the lowest bound for ? In higher dimension, the same problem can be posed by replacing the interval by a ball of radius . We show that there is indeed a strictly positive lower bound, which is estimated as a function of the dimension. In the last section the question, and its solution, are shown to be naturally related to the theory of zêta-functions.
On décrit un problème naturel concernant la transformation de Fourier. Soient , deux fonctions associées par celle-ci, positives pour et nulles en zéro. Quelle est la borne inférieure pour ? En dimension supérieure, même question, l’intervalle étant remplacé par la boule de rayon . On montre l’existence d’une borne inférieure strictement positive, qui est estimée en fonction de la dimension. La dernière section montre que cette question est naturellement liée à la théorie des fonctions zêta.
Mot clés : transformation de Fourier, fonctions zêta
Keywords: Fourier transforms, zêta-function
Bourgain, Jean 1; Clozel, Laurent 2; Kahane, Jean-Pierre 2
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Bourgain, Jean; Clozel, Laurent; Kahane, Jean-Pierre. Principe d’Heisenberg et fonctions positives. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 4, pp. 1215-1232. doi : 10.5802/aif.2552. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2552/
[1] Zeta Functions with a zero at , Inv. Math., Volume 15 (1972), pp. 199-205 | DOI | MR | Zbl
[2] Ueber die Klassenzahl imaginaer-quadratischer Zahlkoerper, Goettingen Nachr. (1918), pp. 285-295
[3] Lower bounds for discriminants of number fields II, Tôhoku Math. J., Volume 29 (1977), pp. 209-216 | DOI | MR | Zbl
[4] On class fields towers, Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967, pp. 231-249 | MR
[5] Conducteurs d’Artin des caractères réels, Inv. Math., Volume 14 (1971), pp. 173-183 | DOI | MR | Zbl
[6] Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta–Functions, Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967, pp. 305-347 | MR
Cited by Sources: