no. 6
Group Schemes over artinian rings and Applications
Berbec, Ioan1
1University of California at Berkeley Department of Mathematics Berkeley, CA 94720 (USA)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 6, pp. 2371-2427

Let n be a positive integer and A ′ a complete characteristic zero discrete valuation ring with maximal ideal 𝔪, absolute ramification index e<p-1 and perfect residue field k of characteristic p>2. In this paper we classify smooth finite dimensional formal p-faithful groups over A n ′ =A ′ /𝔪 n A ′ , i.e. groups on which the “multiplication by p” morphism is faithfully flat, in particular p-divisible groups. As applications, we prove that p-divisible groups over k, and the morphisms between them, lift canonically to A ′ /pA ′ , and we study liftings to characteristic zero of certain connected p-divisible groups of dimension d and height h over k=k ¯, with d and h coprime. When e=1, we classify finite flat group schemes over A ′ /p 2 A ′ of p-power order and prove that a finite flat group scheme over A ′ /p n A ′ of p-power order, having flat p i -torsion for every i≥1, lifts to A ′ .

Soit n un entier positif et A ′ un anneau de valuation discrète complet de caractéristique zéro avec idéal maximal 𝔪, indice de ramification absolu e<p-1 et corps résiduel parfait k de caractéristique p>2. Dans cet article nous classifions les groupes formels lisses p-fidèles de dimension finie sur A n ′ =A ′ /𝔪 n A ′ , i.e. les groupes sur lesquels le morphisme “multiplication par p ” est fidèlement plat, en particulier les groupes p-divisibles. Comme application, nous prouvons que les groupes p-divisibles sur k, et les morphismes entre eux, se relèvent canoniquement à A ′ /pA ′ , et nous étudions les relèvements en caractéristique zéro de certains groupes p-divisibles connexes de dimension d et hauteur h sur k=k ¯, ou d et h sont étrangers. Quand e=1, nous classifions les schémas en groupes finis et plats sur A ′ /p 2 A ′ d’ordre une puissance de p et nous prouvons que tous les schémas en groupes finis et plats sur A ′ /p n A ′ d’ordre une puissance de p, avec p i -torsion plate pour chaque i≥1, se relèvent à A ′ .

DOI: 10.5802/aif.2494
Classification: 14L15, 14L05
Keywords: Group scheme, $p$-divisible group, almost canonical lifting
Mots-clés : schéma en groupe, groupe $p$-divisible, relèvement presque canonique

Berbec, Ioan  1

1 University of California at Berkeley Department of Mathematics Berkeley, CA 94720 (USA) 
Berbec, Ioan. Group Schemes over artinian rings and Applications. Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 6, pp. 2371-2427. doi: 10.5802/aif.2494
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