Let be a germ at of an irreducible analytic set of dimension , where and is a singular point of . We study the question: when does there exist a germ of holomorphic map such that ? We prove essentialy three results. In Theorem 1 we consider the case where is a quasi-homogeneous complete intersection of polynomials , that is there exists a linear holomorphic vector field on , with eigenvalues such that , where is a matrix with entries in . We prove that if there exists a germ of holomorphic map as above and , then . In Theorem 2 we answer the question completely when , and is an isolated singularity of . In Theorem 3 we prove that, if there exists a map as above, and , then . We observe that Theorems 1 and 2 are generalizations of some results due to Halphen.
Soit un germe en d’ensemble analytique irréductible de dimension , où et est un point singulier de . Nous étudions le problème suivant : quand est-ce qu’il existe un germe d’application holomorphe telle que ? Nous démontrons essentiellement trois résultats. Dans le théorème 1 nous considérons le cas où est une intersection complète quasi-homogène de polynômes , c’est-à-dire il existe un champ de vecteurs linéaire holomorphe dans , avec valeurs propres telles que , où est une matrice d’éléments dans . Nous démontrons que s’il existe un germe d’application comme précédemment et alors . Dans le théorème 2 nous répondons complètement à la question quand , et est une singularité isolée de . Dans le théorème 3 nous démontrons que, s’il existe une application comme précédemment, et , alors . Remarquons que les théorèmes 1 et 2 sont des généralisations de quelques résultats de Halphen.
Keywords: Halphen’s theorem, quasi-homomogeneous, complete intersection
Mot clés : théorème de Halphen, quasi-homogène, intersection complète
Lins Neto, Alcides 1
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Lins Neto, Alcides. On Halphen’s Theorem and some generalizations. Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 6, pp. 1947-1982. doi : 10.5802/aif.2231. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2231/
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