On a two-variable zeta function for number fields

Lagarias, Jeffrey C.; Rains, Eric

doi:10.5802/aif.1939

On a two-variable zeta function for number fields
[Sur une fonction zêta à deux variables pour les corps de nombres]

Lagarias, Jeffrey C.¹ ; Rains, Eric ²

¹ AT \& T Labs - Research, Florham Park NJ 07932 (USA)
² Center for Communications Research, 805 Bunn Drive, Princeton NJ 09540 (USA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 1, pp. 1-68.

Résumé
Abstract

Cet article étudie une fonction zêta à deux variables $Z_{K} (w, s)$ attachée à un corps de nombres algébriques $K$ . Définie par van der Geer et Schoof, elle provient d’un analogue du théorème de Riemann-Roch pour les corps de nombres, utilisant les diviseurs d’Arakelov. Lorsque $w = 1$ cette fonction devient la fonction zêta de Dedekind complète ${\hat{ζ}}_{K} (s)$ du corps $K$ . C’est une fonction méromorphe de deux variables complexes avec $s (w - s)$ comme diviseur des pôles, et elle satisfait l’équation fonctionnelle $Z_{K} (w, s) = Z_{K} (w, w - s)$ . Nous considérons le cas particulier $K = ℚ$ , pour lequel lorsque $w = 1$ la fonction est $\hat{ζ} (s) = π^{- \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ (s)$ . Nous montrons que la fonction $ξ_{ℚ} (w, s) : = \frac{s (s - w)}{2 w} Z_{ℚ} (w, s)$ est une fonction entière sur $ℂ^{2}$ , satisfaisant l’équation fonctionnelle $ξ_{ℚ} (w, s) = ξ_{ℚ} (w, w - s),$ et vérifiant $ξ_{ℚ} (0, s) = - \frac{s^{2}}{8} (1 - 2^{1 + \frac{s}{2}}) (1 - 2^{1 - \frac{s}{2}}) \hat{ζ} (\frac{s}{2}) \hat{ζ} (\frac{- s}{2}) .$ Nous étudions l’emplacement des zéros de $Z_{ℚ} (w, s)$ pour les valeurs réelles de $w = u$ . Pour $u \geq 0$ fixé, les zéros sont situés dans une bande verticale de largeur au plus $u + 16$ et le nombre $N_{u} (T)$ de zéros de hauteurs au plus $T$ possède une asymptotique semblable à celle s’appliquant aux zéros de la fonction zêta de Riemann. Pour $u < 0$ , les fonctions $Z_{ℚ} (u, s)$ sont strictement positives sur la “droite critique” $ℜ (s) = \frac{u}{2}$ . Ce phénomène est associé à un semi-groupe de convolution, positif, de paramètre $u \in ℝ_{> 0}$ , qui est un semi-groupe de lois de probabilités infiniment divisibles, ayant les densités $P_{u} (x) d x$ pour $x$ réel, avec $P_{u} (x) = \frac{1}{2 π} θ {(1)}^{u} Z_{ℚ} (- u, - \frac{u}{2} + i x),$ et $θ (1) = π^{1 / 4} / Γ (3 / 4) .$

This paper studies a two-variable zeta function $Z_{K} (w, s)$ attached to an algebraic number field $K$ , introduced by van der Geer and Schoof, which is based on an analogue of the Riemann-Roch theorem for number fields using Arakelov divisors. When $w = 1$ this function becomes the completed Dedekind zeta function ${\hat{ζ}}_{K} (s)$ of the field $K$ . The function is a meromorphic function of two complex variables with polar divisor $s (w - s)$ , and it satisfies the functional equation $Z_{K} (w, s) = Z_{K} (w, w - s)$ . We consider the special case $K = ℚ$ , where for $w = 1$ this function is $\hat{ζ} (s) = π^{- \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ (s)$ . The function $ξ_{ℚ} (w, s) : = \frac{s (s - w)}{2 w} Z_{ℚ} (w, s)$ is shown to be an entire function on $ℂ^{2}$ , to satisfy the functional equation $ξ_{ℚ} (w, s) = ξ_{ℚ} (w, w - s),$ and to have $ξ_{ℚ} (0, s) = - \frac{s^{2}}{8} (1 - 2^{1 + \frac{s}{2}}) (1 - 2^{1 - \frac{s}{2}}) \hat{ζ} (\frac{s}{2}) \hat{ζ} (\frac{- s}{2}) .$ We study the location of the zeros of $Z_{ℚ} (w, s)$ for various real values of $w = u$ . For fixed $u \geq 0$ the zeros are confined to a vertical strip of width at most $u + 16$ and the number of zeros $N_{u} (T)$ to height $T$ has similar asymptotics to the Riemann zeta function. For fixed $u < 0$ these functions are strictly positive on the “critical line” $ℜ (s) = \frac{u}{2}$ . This phenomenon is associated to a positive convolution semigroup with parameter $u \in ℝ_{> 0}$ , which is a semigroup of infinitely divisible probability distributions, having densities $P_{u} (x) d x$ for real $x$ , where $P_{u} (x) = \frac{1}{2 π} θ {(1)}^{u} Z_{ℚ} (- u, - \frac{u}{2} + i x),$ and $θ (1) = π^{1 / 4} / Γ (3 / 4)$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1939

Classification : 11M41, 11G40, 60E07
Keywords: Arakelov divisors, functional equation, infinitely divisible distributions, zeta functions
Mot clés : diviseurs d'Arakelov, équation fonctionnelle, lois de probabilités infiniment divisibles, fonction zêta

Affiliations des auteurs :

Lagarias, Jeffrey C. ¹ ; Rains, Eric ²

¹ AT \& T Labs - Research, Florham Park NJ 07932 (USA)
² Center for Communications Research, 805 Bunn Drive, Princeton NJ 09540 (USA)

@article{AIF_2003__53_1_1_0,
     author = {Lagarias, Jeffrey C. and Rains, Eric},
     title = {On a two-variable zeta function for number fields},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--68},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {53},
     number = {1},
     year = {2003},
     doi = {10.5802/aif.1939},
     zbl = {1106.11036},
     mrnumber = {1973068},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1939/}
}

TY  - JOUR
AU  - Lagarias, Jeffrey C.
AU  - Rains, Eric
TI  - On a two-variable zeta function for number fields
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2003
SP  - 1
EP  - 68
VL  - 53
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1939/
DO  - 10.5802/aif.1939
LA  - en
ID  - AIF_2003__53_1_1_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Lagarias, Jeffrey C.
%A Rains, Eric
%T On a two-variable zeta function for number fields
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2003
%P 1-68
%V 53
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1939/
%R 10.5802/aif.1939
%G en
%F AIF_2003__53_1_1_0

Lagarias, Jeffrey C.; Rains, Eric. On a two-variable zeta function for number fields. Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 1, pp. 1-68. doi : 10.5802/aif.1939. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1939/

Bibliographie
Cité par

[1] G. E. Andrews The Theory of Partitions, Addison-Wesley (Reprint: Cambridge University Press, 1998), Reading, Mass., 1976 | MR | Zbl

[2] G. E. Andrews; R. Askey; R. Roy Special Functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999 | MR | Zbl

[3] T. M. Apostol Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, New York, 1976 | MR | Zbl

[4] P. Biane; J. Pitman; M. Yor Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions, Bull. Amer. Math. Soc, Volume 38 (2001), pp. 435-465 | DOI | MR | Zbl

[5] E. Bombieri; D. A. Hejhal On the distribution of zeros of linear combinations of Euler products, Duke Math. J, Volume 80 (1995), pp. 821-862 | MR | Zbl

[6] A. Borisov Convolution structures and arithmetic cohomology (3 Jan 2001) (e-print, arXiv: math.AG9807151 v3)

[7] R. W. Bruggeman Families of Automorphic Forms, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994 | MR | Zbl

[8] J. B. Conrey; A. Ghosh Turán inequalitites and zeros of Dirichlet series associated with certain cusp forms, Trans. Amer. Math. Soc, Volume 342 (1994), pp. 407-419 | DOI | MR | Zbl

[9] H. Davenport Multiplicative Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1980 | MR | Zbl

[10] W. Feller An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume II, John Wiley \& Sons, New York, 1971 | MR | Zbl

[11] G. van der Geer; R. Schoof Effectivity of Arakelov Divisors and the theta divisor of a number field, Selecta Math., New Series, 6, eprint: \tt arXiv math.AG/9802121, 2000 | MR | Zbl

[12] D. A. Hejhal On a result of Selberg concerning zeros of linear combinations of L-functions, Internat. Mat. Research Notices (2000) no. 11, pp. 551-577 | DOI | MR | Zbl

[13] S. Lang Introduction to Modular Forms, Springer-Verlag, New York, 1976 | MR | Zbl

[14] S. Lang Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1994 | MR | Zbl

[15] J. Lehner The Fourier coefficients of automorphic forms on horocyclic groups II, Michigan Math. J, Volume 6 (1959), pp. 173-193 | DOI | MR | Zbl

[16] J. Lehner Magnitude of the Fourier coefficients of automorphic forms of negative dimension, Bull. Amer. Math. Soc, Volume 67 (1961), pp. 603-606 | DOI | MR | Zbl

[17] J. Lehner Discontinuous Groups and Arithmetic Subgroups, Mathematical Surveys, Number VIII, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1964 | Zbl

[18] R. Pellikaan; R. Pellikaan, M. Perret and S. G. Vladut On special divisors and the two variable zeta function of algebraic curves over finite fields, Arithmetic, Geometry and Coding Theory (1996), pp. 175-184 | Zbl

[19] H. Petersson Über automorphe Orthogonalfunktionen und die Konstruktion der automorphen Formen von positiver reeller Dimension, Math. Ann, Volume 127 (1954), pp. 33-81 | DOI | MR | Zbl

[20] H. Petersson Über Betragmittelwerte und die Fourier-Koeffizienten der ganzen automorphen Formen, Arch. Math. (Basel), Volume 9 (1958), pp. 176-182 | MR | Zbl

[21] J. Pitman; M. Yor Infinitely divisible laws associated to hyperbolic functions, Univ. Calif.-Berkeley Stat. Technical Rept. (2001) no. 581

[22] H. Rademacher On the expansion of the partition function in a series, Ann. Math, Volume 44 (1943), pp. 416-422 | DOI | MR | Zbl

[23] L. I. Ronkin Introduction to the Theory of Entire Functions of Several Variables, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1974 | MR | Zbl

[24] L. I. Ronkin; G. M. Khenkin, Ed. Entire Functions, Several Complex Variables III (Encyclopedia of Mathematical Sciences), Volume Volume 9 (1989), pp. 1-30

[25] W. Stoll Holomorphic Functions of Finite Order in Several Complex Variables, CBMS Publication, Volume No. 21 (1974) | Zbl

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT