We deal with the links between -adic differential equations and -adic representations of local fields of characteristic , focusing on the Bessel case. We prove that every (normalized) -adic Bessel equation, on a thin annulus at the boundary of the disk at infinity, becomes trivial over some finite etale covering of that annulus coming from a separable finie extension of . The difficult case is ; we give explicit constructions of that covering and of the corresponding diadic Galois representation in terms of the crystalline cohomology of a certain superelliptic curve over . This dismisses in particular a surmized counterexample of Mebkhout to Crew’s -adic local monodromy conjecture.
Nous traitons des liens entre équations différentielles -adiques et représentations -adiques de corps locaux de caractéristique , en nous concentrant sur le cas Bessel. Nous démontrons que toute équation de Bessel -adique normalisée à la Dwork, sur une fine couronne au bord du disque à l’infini, se trivialise sur un certain revêtement étale de cette couronne (revêtement provenant d’une extension finie séparable de ). Le cas difficile est , et nous explicitons complètement le revêtement et la représentation galoisienne diadique correspondante en termes de la cohomologie cristalline d’une certaine courbe elliptique supersingulière sur . Cela élimine en particulier un contrexemple putatif de Mebkhout à la conjecture de monodromie locale -adique de Crew.
Mot clés : représentations $p$-adiques, équations de Bessel, monodromie $p$-adique
Keywords: $p$-adic representations, Bessel equations, $p$-adic monodromy
André, Yves 1
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André, Yves. Représentations galoisiennes et opérateurs de Bessel $p$-adiques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 3, pp. 779-808. doi : 10.5802/aif.1901. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1901/
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