no. 6
Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 6, pp. 1709-1744.

Nous démontrons un lemme permettant d’étudier l’irréductibilité et la lissité (hors des singularités prescrites) de la courbe plane générique de degré d passant par r points génériques avec des multiplicités m 1 ,...,m r fixées par avance. Ce lemme repose sur la “méthode d’Horace”, introduite par A. Hirschowitz. Il est appliqué ici à l’étude des courbes de genre inférieur ou égal à 4.

We prove a lemma to study the irreducibility and the smoothness (away from the prescribed singularities) of the generic plane curve of degree d passing through r generic points with prescribed multiplicities m 1 ,...,m r . This result rests on the “Horace’s method”, introduced by A. Hirschowitz. It is applied here to study the curves of genus at most 4.

@article{AIF_2000__50_6_1709_0,
     author = {Mignon, Thierry},
     title = {Courbes lisses sur les surfaces rationnelles g\'en\'eriques : un lemme {d'Horace} diff\'erentiel},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1709--1744},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {50},
     number = {6},
     year = {2000},
     doi = {10.5802/aif.1805},
     zbl = {0969.14026},
     mrnumber = {2001m:14057},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1805/}
}
TY  - JOUR
AU  - Mignon, Thierry
TI  - Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2000
SP  - 1709
EP  - 1744
VL  - 50
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1805/
DO  - 10.5802/aif.1805
LA  - fr
ID  - AIF_2000__50_6_1709_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Mignon, Thierry
%T Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2000
%P 1709-1744
%V 50
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1805/
%R 10.5802/aif.1805
%G fr
%F AIF_2000__50_6_1709_0
Mignon, Thierry. Courbes lisses sur les surfaces rationnelles génériques : un lemme d'Horace différentiel. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 6, pp. 1709-1744. doi : 10.5802/aif.1805. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1805/

[1] J. Alexander, A. Hirschowitz, Un lemme d'Horace différentiel : application aux singularités hyperquartiques de ℙ5, J. Alg. Geom., 1 (1992), 411-426. | MR | Zbl

[2] J. Alexander, A. Hirschowitz, An asymptotic vanishing theorem for generic unions of multiple points, preprint alg-geom/9703037 (1997). | Zbl

[3] E. Arbarallo, M. Cornalba, Footnotes to a paper of Benjamino Segre, Math. Ann., 256 (1981), 341-362. | Zbl

[4] S. Bossini, Classification des courbes sur les surfaces rationnelles génériques, Algebraic Geometry, Europroj Conferences in Catania and Barcelona, Lecture Notes in Pure and Appl. Math. n° 200, 1998, 283-329. | MR | Zbl

[5] C. Ciliberto, R. Miranda, Degenerations of planar linear systems, J. reine angew. Math., (1998), 191-220. | MR | Zbl

[6] C. Ciliberto, R. Miranda, Linear systems of plane curves with base points of equal multiplicity, preprint math.AG/9804018, to appear in Trans. Amer. Math. Soc., 1998. | Zbl

[7] P. Deligne, D. Mumford, Irreducibility of the space of curves of given genus, Publ. Math. de l'IHES, 36 (1969), 75-109. | Numdam | MR | Zbl

[8] M. Demazure, Surfaces de Del Pezzo, Séminaire sur les singularités des surfaces, Palaiseau (France), Lectures notes in Mathematics n° 777 (1977). | Numdam | Zbl

[9] L. Evain, Dimension des systèmes lineaires : une approche différentielle et combinatoire, preprint alg-geom/9709032, 1997.

[10] M. Green, R. Lazarsfeld, Deformation theory, generic vanishing theorems, and some conjectures of Enriques, Catanese and Beauville, Invent. Math., 90 (1987), 389-407. | EuDML | MR | Zbl

[11] G. M. Greuel, C. Lossen, E. Shustin, Plane curves of minimal degree with prescribed singularities, Invent. Math., 133, 3 (1998), 539-580. | MR | Zbl

[12] A. Grothendieck, Les schémas de Picard : théorèmes d'existence, technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, Séminaire Bourbaki, exposé 232 (1961-1962). | EuDML | Numdam | Zbl

[13] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, Chap. IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Publ. Math. de l'IHES, 24 (1965). | EuDML | Numdam | Zbl

[14] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, Chap. IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Publ. Math. de l'IHES, 32 (1966). | Numdam | Zbl

[15] B. Harbourne, The geometry of rational surfaces and Hilbert functions of points in the plane, Can. Math. Soc. Conf. Proc., 6 (1986), 95-111. | MR | Zbl

[16] M. Heveling, Courbes planes avec points à multiplicités imposées, rapport de stage de l'ENS Lyon, 1999.

[17] A. Hirschowitz, Rank techniques and jump stratifications, vector bundles on algebraic varieties, Proceedings Bombay 1984, Oxford University Press, 1987, 159-205. | MR | Zbl

[18] A. Hirschowitz, Une conjecture pour la cohomologie des diviseurs sur les surfaces rationnelles génériques, J. reine angew. Math., 397 (1989), 208-213. | EuDML | MR | Zbl

[19] T. Mignon, Systèmes linéaires de courbes planes, thèse, Université de Nice, 1997.

[20] T. Mignon, Systèmes de courbes planes à singularités imposées : le cas des multiplicités inférieures ou égales à quatre, Prépublications de l'ENS Lyon 230, to appear in J. Pure Applied Alg., 2000. | MR | Zbl

[21] T. Mignon, Intersection de courbes planes et constructions de courbes à singularités ordinaires, to appear in J. Pure Applied Alg., 2000. | Zbl

[22] M. Nagata, On rational surfaces II, Mem. Coll. Sci. Kyoto, XXXIII, Mathematics n° 2, 1960, 271-293. | MR | Zbl

[23] A. Nobile, On families of singular plane projective curves, Annali di Matematica pura ed applicata (IV) CXXXVIII (1984), 341-378. | MR | Zbl

[24] G. Xu, Ample line bundles on smooth surfaces, J. reine angew. Math., 107 (1995), 99-209. | EuDML | MR | Zbl

Cité par Sources :