no. 3
Zeros of Fekete polynomials
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 3, pp. 865-889.

Si p est un nombre premier, nous démontrons que le polynôme de Fekete f p (t)=∑ a=0 p-1 a pt a a ∼κ 0 p zéros sur le cercle {|z|=1}, où 0.500813>κ 0 >0.500668. Ici κ 0 -1/2 est la probabilité que la fonction 1/x+1/(1-x)+∑ n∈ℤ:n≠0,1 δ n /(x-n) a un zéro dans ]0,1[, où chaque δ n est ±1 avec probabilité 1/2. En fait la valeur absolue de f p (t) est p à chaque racine primitive p-ème de l’unité, et nous démontrons que si |f p (e(2iπ(K+τ)/p))|<ϵp avec τ∈]0,1[, alors il y a un zéro de f près de cet arc.

For p an odd prime, we show that the Fekete polynomial f p (t)=∑ a=0 p-1 a pt a has ∼κ 0 p zeros on the unit circle, where 0.500813>κ 0 >0.500668. Here κ 0 -1/2 is the probability that the function 1/x+1/(1-x)+∑ n∈ℤ:n≠0,1 δ n /(x-n) has a zero in ]0,1[, where each δ n is ±1 with y 1/2. In fact f p (t) has absolute value p at each primitive pth root of unity, and we show that if |f p (e(2iπ(K+τ)/p))|<ϵp for some τ∈]0,1[ then there is a zero of f close to this arc.

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