Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation

Kolster, Manfred; Movahhedi, Abbas

doi:10.5802/aif.1746

Kolster, Manfred ; Movahhedi, Abbas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 1, pp. 35-65.

Résumé
Abstract

Soient $F$ un corps de nombres et $o_{F}$ l’anneau des entiers de $F$ . Pour un nombre premier fixé $p$ et $i \geq 2$ , les noyaux sauvages étales $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (F)$ sont définis comme étant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie étale de $spec o_{F} [\frac{1}{p}]$ à coefficients dans le $i$ -ème “tordu” de Tate de $Z_{p}$ . Ces groupes sont finis et coïncident, pour $i = 2$ , avec la partie $p$ -primaire du noyau sauvage classique $W K_{2} (F)$ . Ces noyaux sauvages $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (F)$ jouent des rôles symétriques aux $p$ -parties du groupe des classes de $F$ . Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique $L / F$ est décrite par la formule des classes ambiges donnée par la théorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu’on maîtrise difficilement est l’indice normique $[U_{F}^{'} : U_{F}^{'} \cap N_{L / F} (L^{*})]$ pour les $p$ -unités $U_{F}^{'}$ . Le but principal de cet article est l’étude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages : Étant donnée une extension cyclique $L / F$ de degré $p$ de groupe de Galois $G$ , on montre que l’application de transfert $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (L)_{G} \to W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (F)$ est surjective sauf dans un cas très particulier, puis on réalise son noyau comme le conoyau d’un certain cup-produit à valeurs dans un groupe de Brauer. La méthode permet également d’obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue à celle des classes ambiges où les $p$ -unités $U_{F}^{'}$ sont remplacées par les groupes de $K$ -théorie impairs. Lorsque $p$ est impair, cette formule permet de trouver toutes les $p$ -extensions de $Q$ pour lesquelles la $p$ -partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour $p \geq 5$ , elles s’avèrent être celles qui sont contenues dans la $Z_{p}$ -extension cyclotomique de $Q$ .

Let $F$ be a number field with ring of integers $o_{F}$ . For a fixed prime number $p$ and $i \geq 2$ the étale wild kernels $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (F)$ are defined as kernels of certain localization maps on the $i$ -fold twist of the $p$ -adic étale cohomology groups of $spec o_{F} [\frac{1}{p}]$ . These groups are finite and coincide for $i = 2$ with the $p$ -part of the classical wild kernel $W K_{2} (F)$ . They play a role similar to the $p$ -part of the $p$ -class group of $F$ . For class groups, Galois co-descent in a cyclic extension $L / F$ is described by the ambiguous class formula given by genus theory. In this formula, the only factor which is not well mastered is the norm index $[U_{F}^{'} : U_{F}^{'} \cap N_{L / F} (L^{*})]$ for the $p$ -units $U_{F}^{'}$ . The aim of this paper is the study of the Galois co-descent for wild kernels: Given a cyclic extension $L / F$ of degree $p$ with Galois group $G$ , we show that the transfer map $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (L)_{G} \to W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (F)$ is onto except in a very special case, then we determine its kernel as the cokernel of a certain cup-product with values in a Brauer group. This approach also yields a genus formula, analogous to the one for class groups, comparing the sizes of $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (L)_{G}$ and $W K_{2 i - 2}^{\overset{´}{e} t} (F)$ where $p$ -units $U_{F}^{'}$ are replaced by odd $K$ -theory groups. When $p$ is odd, we illustrate the method by finding all Galois $p$ -extensions of $Q$ , for which the $p$ -part of the classical wild kernel is trivial. For $p \geq 5$ ,they turn out to be the layers of the cyclotomic $Z_{p}$ -extension of $Q$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1746

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Kolster, Manfred; Movahhedi, Abbas. Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 1, pp. 35-65. doi : 10.5802/aif.1746. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1746/

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