Let be a number field with ring of integers . For a fixed prime number and the étale wild kernels are defined as kernels of certain localization maps on the -fold twist of the -adic étale cohomology groups of . These groups are finite and coincide for with the -part of the classical wild kernel . They play a role similar to the -part of the -class group of . For class groups, Galois co-descent in a cyclic extension is described by the ambiguous class formula given by genus theory. In this formula, the only factor which is not well mastered is the norm index for the -units . The aim of this paper is the study of the Galois co-descent for wild kernels: Given a cyclic extension of degree with Galois group , we show that the transfer map is onto except in a very special case, then we determine its kernel as the cokernel of a certain cup-product with values in a Brauer group. This approach also yields a genus formula, analogous to the one for class groups, comparing the sizes of and where -units are replaced by odd -theory groups. When is odd, we illustrate the method by finding all Galois -extensions of , for which the -part of the classical wild kernel is trivial. For ,they turn out to be the layers of the cyclotomic -extension of .
Soient un corps de nombres et l’anneau des entiers de . Pour un nombre premier fixé et , les noyaux sauvages étales sont définis comme étant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie étale de à coefficients dans le -ème “tordu” de Tate de . Ces groupes sont finis et coïncident, pour , avec la partie -primaire du noyau sauvage classique . Ces noyaux sauvages jouent des rôles symétriques aux -parties du groupe des classes de . Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique est décrite par la formule des classes ambiges donnée par la théorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu’on maîtrise difficilement est l’indice normique pour les -unités . Le but principal de cet article est l’étude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages : Étant donnée une extension cyclique de degré de groupe de Galois , on montre que l’application de transfert est surjective sauf dans un cas très particulier, puis on réalise son noyau comme le conoyau d’un certain cup-produit à valeurs dans un groupe de Brauer. La méthode permet également d’obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue à celle des classes ambiges où les -unités sont remplacées par les groupes de -théorie impairs. Lorsque est impair, cette formule permet de trouver toutes les -extensions de pour lesquelles la -partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour , elles s’avèrent être celles qui sont contenues dans la -extension cyclotomique de .
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Kolster, Manfred; Movahhedi, Abbas. Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation. Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 1, pp. 35-65. doi : 10.5802/aif.1746. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1746/
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