Hyperelliptic action integral
Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, pp. 303-331.

Applying the “exact WKB method” (cf. Delabaere-Dillinger-Pham) to the stationary one-dimensional Schrödinger equation with polynomial potential, one is led to a multivalued complex action-integral function. This function is a (hyper)elliptic integral; the sheet structure of its Riemann surface above the plane of its values has interesting properties: the projection of its branch-points is in general a dense subset of the plane, and there is a group of symmetries acting on the surface. The distribution of the branch points on the surface is of crucial importance, because it gives the position for the obstacles to Borel-Laplace summation of the WKB-symbols. In “Approche de la résurgence” by B. Candelpergher, J.-C. Nosmas et F. Pham, p. 103-105, an attempt has been made towards giving an explicit construction of the surface with paper, scissors and glue; here we give the correct construction and in addition we prove that each surface constructed in this way comes from a polynomial potential. Along the way we are lead to an elementary conjecture in the theory of holomorphic functions.

Utilisant la méthode “BKW exacte” (cf. Delabaere-Dillinger-Pham) pour l’équation de Schrödinger stationnaire à une dimension avec potentiel polynomial, on est amené à considérer une fonction d’action complexe multivaluée. C’est une intégrale (hyper)elliptique ; la structure de sa surface de Riemann au-dessus du plan de ses valeurs révèle des propriétés intéressantes : la projection de ses points de ramification est en général une partie dense du plan, et il y a un groupe de symétries qui opère sur la surface. La distribution des points de ramification est importante, car elle donne la position des obstacles à la sommation de Borel-Laplace des symboles BKW. Dans l’ouvrage “Approche de la résurgence” de B. Candelpergher, J.-C. Nosmas et F. Pham, p. 103-105, un essai a été fait pour construire explicitement la surface à l’aide de papier, colle et ciseaux ; ici on donne la construction correcte et, en plus, on prouve que toute surface ainsi construite provient d’un potentiel polynomial. Au passage, nous sommes amenés à formuler une conjecture élémentaire en théorie des fonctions holomorphes.

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