Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans L 2 ( d ) : un modèle semi-classique
Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 1, pp. 265-316.

In L 2 ( d ), we prove exponential localization for a semi-classical periodic Schrödinger operator perturbated by small independant identically distributed random perturbations put in each well of the periodic potential. To do this, we first show that our operator, restricted to some suitably chosen energy interval, is unitarily equivalent to an infinite random matrix with coefficients we can control. Then, for this type of random matrices, we prove an Anderson localization theorem. We also apply this result to prove localization at large energy or large disorder, for long range discrete Anderson models.

Dans L 2 ( d ), nous démontrons un résultat de localisation exponentielle pour un opérateur de Schrödinger semi-classique à potentiel périodique perturbé par de petites perturbations aléatoires indépendantes identiquement distribuées placées au fond de chaque puits. Pour ce faire, on montre que notre opérateur, restreint à un intervalle d’énergie convenable, est unitairement équivalent à une matrice aléatoire infinie dont on contrôle bien les coefficients. Puis, pour ce type de matrices, on prouve un résultat de type localisation d’Anderson. On applique aussi ce résultat pour prouver la localisation à grande énergie ou grand désordre, pour des modèles d’Anderson discrets à longue portée.

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Klopp, Frédéric. Localisation pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires dans $L^2({\mathbb {R}}^d)$ : un modèle semi-classique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 45 (1995) no. 1, pp. 265-316. doi : 10.5802/aif.1456. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1456/

[Be] Yu. M. Berezanskii, On expansion in eigenfunctions of self-adjoint operators, Ukrain. Math. Zh., 11 (1959), 16-24, English transl. in Amer. Math. Soc. Trans. (2), 93 (1970). | Zbl

[Ca] U. Carlsson, An infinite number of wells in the semi-classical limit, Asympt. Anal., vol. 3 (1990), 189-214. | MR | Zbl

[C] R. Carmona, Exponential localization in one dimensional disordered systems, Duke Math. Jour., 49 (1982), 191-213. | MR | Zbl

[C-L] R. Carmona, J. Lacroix, Spectral theory of random Schrödinger operators, Birkhäuser, Boston Basel Berlin, 1990. | Zbl

[Co-His] J.M. Combes, P.D. Hislop, Some transport and spectral properties of disordered media, Schrödinger operators: the quantum mechanical many-body problem, LNP 403 (E. Balslev, eds.) Proceedings, Aarhus, Denmark 1991, Springer, Berlin-Heidelberg-New-York (1992), 16-47. | MR | Zbl

[vDK1] H. Von Dreyfus, A. Klein, A new proof of localization in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys., 124 (1989), 285-299. | MR | Zbl

[vDK2] H. Von Dreyfus, A. Klein, Localization for random Schrödinger operators with correlated potentials, Commun. Math. Phys., 140 (1991), 133-147. | Zbl

[FMSS] J. Fröhlich, F. Martinelli, E. Scoppola, T. Spencer, Constructive proof of localization in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys., 101 (1985), 21-46. | MR | Zbl

[FS] J. Fröhlich, T. Spencer, Absence of diffusion in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys., 88 (1983), 151-184. | Zbl

[GMP] Ya. Gol'Dsheid, S. Molchanov, L. Pastur, Pure point spectrum of stochastic one dimensional Schrödinger operators, Funct. Anal. Appl., 11 (1977) 1. | Zbl

[Gr] V. Grinshpun, Point spectrum of random infinite order operators acting on l2(ℤd), Dok. Akad. Nauk Ukraïni, 8 (1992), 18-21 (en russe).

[HM] H. Holden, F. Martinelli, A remark on the absence of diffusion near the bottom of the spectrum for a random Schrödinger operator in L2(Rv), Commun. Math. Phys., 93, (1984) 197-217. | MR | Zbl

[He-Sj] B. Helffer, J. Sjöstrand, Multiple wells in the semi-classical limit 1, Comm. P.D.E, 9 (1984), 337-408. | Zbl

[Kl] F. Klopp, Étude semi-classique d'une perturbation d'un opérateur de Schrödinger périodique, Ann. Inst. Henri Poincaré, sér. Phys. Théor., 55 (1991), 459-509. | Numdam | MR | Zbl

[KoSi] S. Kotani, B. Simon, Localization in general one dimensional systems, II, Commun. Math. Phys., 112 (1987), 103-119. | MR | Zbl

[KuSo] H. Kunz, B. Souillard, Sur le spectre des opérateurs aux différences finies aléatoires, Commun. Math. Phys., 78 (1980), 201-246. | MR | Zbl

[MS1] F. Martinelli, E. Scoppola, Introduction to the mathematical theory of Anderson localization, Riv. Nuovo Cim., 10 (1987), N10.

[MS2] F. Martinelli, E. Scoppola, Remark on the absence of absolutely continuous spectrum for d-dimensional Schrödinger operators with random potential for large disorder and low energy, Commun. Math. Phys., 97 (1985), 465-471. | MR | Zbl

[O] A. Outassourt, Comportement semi-classique pour l'opérateur de Schrödinger à potentiel périodique, J. Funct. Anal., 72 (1987), 65-93. | MR | Zbl

[P] L. Pastur, Spectra of random self-adjoint operators, Russ. Math. Surv., 28 (1973), 1. | MR | Zbl

[PFi] L. Pastur, A. Figotin, Spectra of random and almost-periodic operators, Springer, Berlin-Heidelberg-New-York, 1992. | MR | Zbl

[Si1] B. Simon, Semi-classical analysis of low lying eigenvalues III. Width of the ground state band in strongly coupled solids, Ann. Phys., 158 (1984), 415-420. | MR | Zbl

[Si2] B. Simon, Schrödinger semigroups, Bull. Am. Math. Soc., 7 (1982), 447-526. | MR | Zbl

[Wa] W.-M. Wang, Exponential decay of green's functions for a class of long range hamiltonians, Commun. Math. Phys., 136 (1991), 35-41. | MR | Zbl

[We] F. Wegner, Bounds on the density of states in disordered systems, 1981, Z. Phys., B44 (1981), 9-15.

Cited by Sources: