no. 3
Partial differential operators depending analytically on a parameter
Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 577-599

Let P(λ,D)=∑ |α|≤m a α (λ)D α be a differential operator with constant coefficients a α depending analytically on a parameter λ. Assume that the family { P(λ,D)} is of constant strength. We investigate the equation P(λ,D)𝔣 λ ≡g λ where 𝔤 λ is a given analytic function of λ with values in some space of distributions and the solution 𝔣 λ is required to depend analytically on λ, too. As a special case we obtain a regular fundamental solution of P(λ,D) which depends analytically on λ. This result answers a question of L. Hörmander.

Soit P(λ,D) un opérateur différentiel à coefficients constants sur R n dépendant analytiquement d’un paramètre λ dans une variété complexe Λ. Supposons que, pour deux valeurs quelconques λ 1 ,λ 2 du paramètre, P(λ 1 ,D) et P(λ 2 ,D) sont également forts, Il a été démontré par F. Trèves que cette hypothèse est suffisante et nécessaire (si Λ est connexe) pour établir l’existence locale de fonctions analytiques 𝔣 λ de λ satisfaisant à l’équation P(λ,D)𝔣 λ ≡δ (δ= mesure de Dirac : 𝔣 λ est donc une solution élémentaire de P(λ;D)). Alors L. Hörmander a posé la question si 𝔣 λ peut être choisi analytique dans Λ entière.

Dans le travail présent nous considérons plus généralement une fonction analytique 𝔤 λ de λ à valeurs dans un espace de distributions d’ordre fini. Nous allons construire une fonction analytique 𝔣 λ telle que P(λ,D)𝔣 λ =𝔤 λ pour chaque λ∈Λ.

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Cité par Sources :