no. 3
Partial differential operators depending analytically on a parameter
Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 577-599.

Soit P(λ,D) un opérateur différentiel à coefficients constants sur R n dépendant analytiquement d’un paramètre λ dans une variété complexe Λ. Supposons que, pour deux valeurs quelconques λ 1 ,λ 2 du paramètre, P(λ 1 ,D) et P(λ 2 ,D) sont également forts, Il a été démontré par F. Trèves que cette hypothèse est suffisante et nécessaire (si Λ est connexe) pour établir l’existence locale de fonctions analytiques 𝔣 λ de λ satisfaisant à l’équation P(λ,D)𝔣 λ ≡δ (δ= mesure de Dirac : 𝔣 λ est donc une solution élémentaire de P(λ;D)). Alors L. Hörmander a posé la question si 𝔣 λ peut être choisi analytique dans Λ entière.

Dans le travail présent nous considérons plus généralement une fonction analytique 𝔤 λ de λ à valeurs dans un espace de distributions d’ordre fini. Nous allons construire une fonction analytique 𝔣 λ telle que P(λ,D)𝔣 λ =𝔤 λ pour chaque λ∈Λ.

Let P(λ,D)=∑ |α|≤m a α (λ)D α be a differential operator with constant coefficients a α depending analytically on a parameter λ. Assume that the family { P(λ,D)} is of constant strength. We investigate the equation P(λ,D)𝔣 λ ≡g λ where 𝔤 λ is a given analytic function of λ with values in some space of distributions and the solution 𝔣 λ is required to depend analytically on λ, too. As a special case we obtain a regular fundamental solution of P(λ,D) which depends analytically on λ. This result answers a question of L. Hörmander.

@article{AIF_1991__41_3_577_0,
     author = {Mantlik, Frank},
     title = {Partial differential operators depending analytically on a parameter},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {577--599},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {41},
     number = {3},
     year = {1991},
     doi = {10.5802/aif.1266},
     zbl = {0729.35011},
     mrnumber = {92m:35026},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1266/}
}
TY  - JOUR
AU  - Mantlik, Frank
TI  - Partial differential operators depending analytically on a parameter
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1991
SP  - 577
EP  - 599
VL  - 41
IS  - 3
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1266/
DO  - 10.5802/aif.1266
LA  - en
ID  - AIF_1991__41_3_577_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Mantlik, Frank
%T Partial differential operators depending analytically on a parameter
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1991
%P 577-599
%V 41
%N 3
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1266/
%R 10.5802/aif.1266
%G en
%F AIF_1991__41_3_577_0
Mantlik, Frank. Partial differential operators depending analytically on a parameter. Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991) no. 3, pp. 577-599. doi : 10.5802/aif.1266. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1266/

[G] H. Grauert, On Levi's problem and the embedding of real-analytic manifolds, Ann. Math., 68, 2 (1958), 460-472. | MR | Zbl

[H1] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I, Grundlehren d. mathem. Wissensch., 256, Springer (1983). | MR | Zbl

[II2] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators II, Grundlehren d. mathem. Wissensch., 257, Springer (1983). | MR | Zbl

[L] J. Leiterer, Banach coherent analytic Fréchet sheaves, Math. Nachr., 85 (1978), 91-109. | MR | Zbl

[M] F. Mantlik, Fundamental solutions for hypoelliptic differential operators depending analytically on a parameter, to appear. | Zbl

[T1] F. Trèves, Un théorème sur les équations aux dérivées partielles à coefficients constants dépendant de paramètres, Bull. Soc. Math. France, 90 (1962), 473-486. | Numdam | MR | Zbl

[T2] F. Trèves, Fundamental solutions of linear partial differential equations with constant coefficients depending on parameters, Am. J. Math., 84 (1962), 561-577. | MR | Zbl

Cité par Sources :