Surstabilité pour une équation différentielle analytique en dimension un
Annales de l'Institut Fourier, Volume 40 (1990) no. 3, pp. 557-595.

With regard to the delayed bifurcation problem, the notion of overstable solution is defined for a family of analytic differential equation with a small parameter. With the help of nonstandard asymptotic analysis, we prove that overstable solutions exist for some exceptional values of a control parameter. The main tool of the demonstration is a summation theorem which constitutes a generalization of a A. N. Neishtadt’s result.

En rapport avec le problème du retard a la bifurcation, la notion de solution surstable est définie pour une famille d’équations différentielles analytiques avec un petit paramètre. Un théorème d’existence des solutions surstables est démontré pour des valeurs exceptionnelles d’un paramètre de contrôle. L’outil principal de la démonstration est un théorème de sommation qui constitue une généralisation d’un résultat de A. I. Neishtadt.

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[1] E. Benoit, Systèmes lents-rapides de ℝ3 et leurs canards, in IIIe Rencontre de Géometrie du Schnepfenried, Astérisque, 109-110, tome 2 (1983), 159-191. | MR: 86d:58103 | Zbl: 0529.34037

[2] E. Benoit, Canards et enlacements, in M. Diener et G. Wallet Editeurs, Mathématiques Finitaires et Analyse Non Standard, tome 2, Publications de l'Université Paris 7, (1989), 91-104. | MR: 91h:34086 | Zbl: 0684.34036

[3] E. Benoit, Equations différentielles : relation entrée-sortie, C.R. Acad. Sci. Paris, Série I, 293 (1981), 293-296. | MR: 83h:34036 | Zbl: 0485.34031

[4] E. Benoit, J.L. Callot, F. Diener et M. Diener, Chasse au canard, Collectanea Mathematica, 32, 1-3, (1981), 37-119. | MR: 85g:58062a | Zbl: 0529.34046

[5] B. Candelpergher, "Valeurs à canards" pour l'équation : εz'(t) = t(z(t) - f(t)) + a(ε), preprint (Nice), 1990.

[6] B. Candelpergher, F. Diener et M. Diener, Retard à la bifurcation : du local au global, à paraître dans les actes du Colloque : "Bifurcation et orbites périodiques des champs de vecteurs du plan", Luminy, septembre 1989. | Zbl: 0739.34021

[7] B. Candelpergher, J.C. Normas et F. Pham, Approche de la résurgence, (livre à paraître).

[8] P. Cartier, Perturbations singulières des équations différentielles et analyse non-standard, Séminaire Bourbaki 34e année, n° 580 (1981-1982), 21-44. | Numdam | MR: 84i:34072 | Zbl: 0508.03004

[9] A. Delcroix, Propriétés asymptotiques des champs de vecteurs lents-rapides, Thèse, Poitiers, 1989. | Zbl: 0667.34075

[10] F. Diener et G. Reeb, Analyse Non Standard, Hermann, Collection Enseignement des Sciences, Paris, 1989. | MR: 91k:03157 | Zbl: 0682.26010

[11] M. Diener, Etude générique des canards, Thèse, Strasbourg, 1983.

[12] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes (en 3 volumes), Publications Mathématiques de l'Université d'Orsay. | Zbl: 0602.30029

[13] T. Erneux et P. Mandel, Imperfect bifurcation with a slowly-varying control parameter, S.I.A.M. Appl. Math., Vol. 46, n° 1, February 1986, 1-15. | MR: 87e:58046 | Zbl: 0589.34031

[14] A. Fruchard, Canards discrets, C.R. Acad. Sci. Paris, Série I, 307 (1988), 41-46. | MR: 89e:03116 | Zbl: 0652.58031

[15] A. Fruchard, Retard à la bifurcation dans des systèmes dynamiques discrets, Série du Séminaire Non Standard de Paris 7, 89/1 (1989), 1-8.

[16] C. Lobry et G. Wallet, La traversée de l'axe imaginaire n'a pas toujours lieu là où l'on croit l'observer, in M. Diener et G. Wallet Editeurs, Mathématiques Finitaires et Analyse Non Standard, Tome 2, Publications de l'Université Paris 7, (1989), 45-51. | MR: 1028789 | Zbl: 0687.58029

[17] J. Martinet et J.P. Ramis, Théorie de Galois différentielle et resommation, in E. Tournier Editeur, Computer Algebra and Differential Equations, Academic Press, 1989. | MR: 1038060 | Zbl: 0722.12007

[18] A.I. Neishtadt, Persistence of stability loss for dynamical bifurcations I, Differentsial'nye Uravneniya, 23, n° 12 (1987), 2060-2067. | MR: 89f:34074 | Zbl: 0716.34064

[19] A.I. Neishtadt, Persistence of stability loss for dynamical bifurcations II, Differentsial'nye Uravneniya, 24, n° 2 (1988), 226-233. | Zbl: 0677.58035

[20] E. Nelson, Internal set theory : a new approach to nonstandard analysis, Bulletin A.M.S., 83, n° 6 (1977), 1165-1198. | MR: 57 #9544 | Zbl: 0373.02040

[21] G. Wallet, Entrée-sortie dans un tourbillon, Ann. Inst. Fourier, 36-4 (1986), 157-184. | EuDML: 74733 | Numdam | MR: 88h:34032 | Zbl: 0593.76032

[22] G. Wallet, Dérive lente du champ de Lienard, in M. Diener et G. Wallet Editeurs, Mathématiques Finitaires et Analyse Non Standard, tome 2, Publications de l'Université Paris 7, (1989), 45-51. | MR: 1028790 | Zbl: 0689.34043

[23] A.K. Zvonkin and M.A. Shubin, Non-standard analysis and singular pertubations of ordinary differential equations, Russian Math. Surveys 39, n° 2 (1984), 69-131. | MR: 85j:34119 | Zbl: 0549.34055

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