Let be a field of characteristic , a proper, smooth, geometrically connected curve over , and 0 and two -rational points on . We show that any representation of the local Galois group at extends to a representation of the fundamental group of which is tamely ramified at 0, provided either that is separately closed or that is . In the latter case, we show there exists a unique such extension, called “canonical”, with the property that the image of the geometric fundamental group has a unique -Sylow subgroup. As an application, we give a global cohomological construcion of the Swan representation in equal characteristic.
Soit un corps de caractéristique , une courbe propre, lisse, et géométriquement connexe sur , et , deux points -rationnels de . On montre que toute représentation du groupe de Galois local à l’infini se prolonge en une représentation du groupe fondamental de qui est modérément ramifiée en , sous l’hypothèse que soit est séparablement clos, soit que est . Dans ce dernier cas, on montre qu’il existe un seul tel prolongement, dit “canonique”, avec la propriété que l’image du groupe fondamental géométrique ait un seul -sous-groupe de Sylow. Comme application, on donne une construction cohomologique globale de la représentation de Swan dans le cas d’égale caractéristique.
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Katz, Nicholas M. Local-to-global extensions of representations of fundamental groups. Annales de l'Institut Fourier, Volume 36 (1986) no. 4, pp. 69-106. doi : 10.5802/aif.1069. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1069/
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