Resolvent at low energy and Riesz transform for Schrödinger operators on asymptotically conic manifolds. II

Guillarmou, Colin; Hassell, Andrew

doi:10.5802/aif.2471

Resolvent at low energy and Riesz transform for Schrödinger operators on asymptotically conic manifolds. II
[Résolvante à basse énergie et transformée de Riesz pour l’opérateur de Schrödinger sur des variétés asymptotiquement coniques. II]

Guillarmou, Colin ¹ ; Hassell, Andrew ²

¹ Université de Nice Laboratoire J. Dieudonné Parc Valrose 06100 Nice(FRANCE)
² Australian National University Department of Mathematics Canberra ACT 0200 (AUSTRALIA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 4, pp. 1553-1610.

Résumé
Abstract

Soit $M^{\circ}$ une variété complète de dimension $n \geq 3$ et $g$ une métrique asymptotiquement conique sur $M^{\circ}$ , au sens où $M^{\circ}$ se compactifie en une variété à bord $M$ telle que $g$ soit une métrique de type “scattering” sur $M$ . On étudie le noyau intégral de la résolvante ${(P + k^{2})}^{- 1}$ et la transformée de Riesz $T$ de l’opérateur $P = Δ_{g} + V$ , où $Δ_{g}$ est le laplacien positif associé à $g$ et $V$ un potentiel réel, lisse sur $M$ et s’annulant au bord.

Dans le premier article nous avons supposé que $0$ n’est ni résonance ni valeur propre pour $P$ et montré (i) que le noyau de la résolvante est conormal polyhomogène sur une version éclatée de $M^{2} \times [0, k_{0}]$ , et (ii) que $T$ est borné sur $L^{p} (M^{\circ})$ pour $1 < p < n$ , ce qui optimal sauf si $V \equiv 0$ ou bien $M^{\circ}$ a seulement un bout.

Dans le présent article, on effectue une analyse similaire tout en autorisant les cas où $0$ est résonance ou valeur propre. On montre là encore (sauf si $n = 4$ et $0$ est résonance) que le noyau de la résolvante est polyhomogène sur le même espace, et on donne l’intervalle de $p$ (génériquement $n / (n - 2) < p < n / 3$ ) pour lequel $T$ est borné sur $L^{p} (M)$ quand $0$ est valeur propre.

Let $M^{\circ}$ be a complete noncompact manifold of dimension at least 3 and $g$ an asymptotically conic metric on $M^{\circ}$ , in the sense that $M^{\circ}$ compactifies to a manifold with boundary $M$ so that $g$ becomes a scattering metric on $M$ . We study the resolvent kernel ${(P + k^{2})}^{- 1}$ and Riesz transform $T$ of the operator $P = Δ_{g} + V$ , where $Δ_{g}$ is the positive Laplacian associated to $g$ and $V$ is a real potential function smooth on $M$ and vanishing at the boundary.

In our first paper we assumed that $P$ has neither zero modes nor a zero-resonance and showed (i) that the resolvent kernel is polyhomogeneous conormal on a blown up version of $M^{2} \times [0, k_{0}]$ , and (ii) $T$ is bounded on $L^{p} (M^{\circ})$ for $1 < p < n$ , which range is sharp unless $V \equiv 0$ and $M^{\circ}$ has only one end.

In the present paper, we perform a similar analysis allowing zero modes and zero-resonances. We show once again that (unless $n = 4$ and there is a zero-resonance) the resolvent kernel is polyhomogeneous on the same space, and we find the precise range of $p$ (generically $n / (n - 2) < p < n / 3$ ) for which $T$ is bounded on $L^{p} (M)$ when zero modes are present.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2471

Classification : 58J50, 42B20, 35J10
Keywords: Asymptotically conic manifold, scattering metric, resolvent kernel, low energy asymptotics, Riesz transform, zero-resonance
Mot clés : variété asymptotiquement conique, métrique scattering, noyau de la résolvante, asymptotique à basse énergie, transformée de Riesz, zéro-résonance

Affiliations des auteurs :

Guillarmou, Colin ¹ ; Hassell, Andrew ²

¹ Université de Nice Laboratoire J. Dieudonné Parc Valrose 06100 Nice(FRANCE)
² Australian National University Department of Mathematics Canberra ACT 0200 (AUSTRALIA)

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Guillarmou, Colin; Hassell, Andrew. Resolvent at low energy and Riesz transform for Schrödinger operators on asymptotically conic manifolds. II. Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 4, pp. 1553-1610. doi : 10.5802/aif.2471. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2471/

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