Forte souplesse intersystolique de variétés fermées et de polyèdres  [ Strong systolic freedom of closed manifolds end of polyhedrons ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 4, p. 1259-1284
Systols of dimension k for a Riemannian manifold of dimension n were introduced by M. Berger in 1972. The problem of intersystolic freedom (or (k,n-k)-freedom) deals with the supremum of the product of two supplementary dimensional systols, say k and n-k, when metric of M runs in the class of metrics with unit volume. Intersystolic freedom means that this supremum is equal to . A few partial results in this direction were recently obtained by M. Katz, A. Suciu and the author. In the article we present a general theorem about the strong intersystolic freedom of arbitrary Riemannian polyhedrons. This result implies in particular the intersystolic freedom for any closed manifold.
La systole k-dimensionnelle d’une variété riemannienne de dimension n a été introduite par M. Berger en 1972. Le problème de la souplesse intersystolique (ou (k,n-k)-souplesse) d’une variété M est l’étude de la borne supérieure du produit de deux systoles de dimensions complémentaires k et n-k si on change la métrique sur M dans la classe des métriques de volume 1. La souplesse intersystolique de M signifie que cette borne supérieure est égale à . Quelques résultats particuliers dans cette direction ont été obtenus récemment par M. Katz, A. Suciu et l’auteur. Dans cet article nous présentons un théorème général sur la souplesse intersystolique forte d’un polyèdre riemannien quelconque. Ce résultat implique en particulier la souplesse intersystolique pour une variété fermée arbitraire.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1917
Classification:  53C23,  57Q99,  58A25
Keywords: Riemannian manifold, riemannian polyhedron, systole, mass, comass
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     author = {Babenko, Ivan K.},
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Forte souplesse intersystolique de variétés fermées et de polyèdres. Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 4, pp. 1259-1284. doi : 10.5802/aif.1917. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2002__52_4_1259_0/

[1] I. Babenko Asymptotic invariants of smooth manifolds, Russian Acad. Sci. Izv. Math, Tome Vol. 41 (1993), pp. 1-38 | Article | MR 1208148 | Zbl 0812.57022

[2] I. Babenko; M. Katz Systolic freedom of orientable manifolds, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, Tome 31 (1998), pp. 787-809 | Numdam | MR 1664222 | Zbl 0944.53019

[3] I. Babenko; M. Katz; A. Suciu Volumes, middle-dimensional systoles, and Whitehead products, Math. Res. Lett., Tome Vol. 5 (1998), pp. 461-471 | MR 1653310 | Zbl 0933.53022

[4] I. Babenko Forte souplesse intersystolique de variétés fermées, Russ. Math. Surv., Tome Vol. 55 (2000) no. 5, p. 171-172 | MR 1799015 | Zbl 1004.53031

[5] M. Berger A l'ombre de Loewner, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., Tome 5 (1972), pp. 241-260 | Numdam | MR 309009 | Zbl 0237.53035

[6] M. Berger Du côté de chez Pu, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., Tome 5 (1972), pp. 1-44 | Numdam | MR 309008 | Zbl 0227.52005

[7] M. Berger Systoles et applications selon Gromov, Séminaire N. Bourbaki 1992/93 (Astérisque) Tome Vol. 216 ; exposé 771 (1993), pp. 279-310 | Numdam | MR 1246401 | Zbl 0789.53040

[8] M. Berger Riemannian geometry during the second half of the twentieth century, Jahresber. Deutsch. Math. -Verein, Tome Vol. 100 (1998), pp. 45-208 | MR 1637246 | Zbl 0928.53001

[9] Yu. Burago; V. Zalgaller Geometric inequalities, Springer (1988) | MR 936419 | Zbl 0633.53002

[10] H. Federer Geometric measure theory, Springer (1969) | MR 257325 | Zbl 0176.00801

[11] H. Federer Real flat chains, cochains and variational problems, Indiana Math. Journal, Tome Vol. 24 (1974), pp. 351-407 | Article | MR 348598 | Zbl 0289.49044

[12] M. Gromov Systoles and intersystolic inequalities, Actes de la table ronde de géométrie différentielle en l'honneur de Marcel Berger (Collection SMF) Tome 1 (1996), pp. 291-362 | Zbl 0877.53002

[13] M. Gromov Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom., Tome Vol. 18 (1983), pp. 1-147 | MR 697984 | Zbl 0515.53037

[14] M. Gromov Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999) | MR 1699320 | Zbl 05114904

[15] J.J. Hebda The collars of Riemannian manifolds and stable isosystolic inequalities, Pacific J. of Math., Tome Vol. 121 (1986), pp. 339-356 | MR 819193 | Zbl 0607.53043

[16] M. Katz Counter-examples to isosystolic inequalities, Geometriae Dedicata, Tome Vol. 57 (1995), pp. 195-206 | Article | MR 1347325 | Zbl 0842.53031

[17] M. Katz Systolically free manifolds, Appendix D to [14]

[18] M. Katz; A. Suciu; M. Farber, W. Lueck, S. Weinberger, Eds Volume of Riemannian manifolds, geometric inequalities, and homotopy theory, Rothenberg Festschrift, AMS (Contemporary Mathematics) (1999) | Zbl 0967.53024

[19] M. Katz; A. Suciu Systolic freedom of loopspaces ((Geometric and Functional Analysis) à paraître.) | Zbl 1048.53030

[20] J. Milnor Morse theory, Princeton Univ. Press (1963) | MR 163331 | Zbl 0108.10401

[21] P.M. Pu Some inequalities in certain non-orientable Riemannian manifolds, Pacific J. of Math., Tome Vol. 2 (1952), pp. 55-71 | MR 48886 | Zbl 0046.39902

[22] J.-P. Serre Groupes d'homotopie et classes de groupes abéliens, Ann. of Math., Tome Vol. 58 (1953), pp. 258-294 | Article | MR 59548 | Zbl 0052.19303

[23] E.H. Spanier Algebraic topology, McGraw-Hill Book Company (1966) | MR 210112 | Zbl 0145.43303

[24] R. Swan Thom's theory of differential forms on simplicial sets, Topology, Tome Vol. 14 (1975), pp. 271-273 | Article | MR 383446 | Zbl 0319.58004