no. 4
Imbalances in Arnoux-Rauzy sequences
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1265-1276.

Dans un article de 1982, Rauzy a montré que le système (X,T) engendré par le morphisme 1↦12, 2↦13, 3↦1 est un codage naturel d’une rotation sur le tore à deux dimensions 𝕋 2 , c’est-à-dire est mesurablement conjugué à un échange de trois domaines fractals sur un sous-ensemble compact de ℝ 2 , chaque domaine étant codé par une lettre et translaté par le même vecteur modulo un réseau. Plus généralement, il était conjecturé que chaque suite de complexité 2n+1 satisfaisant une condition combinatoire dite condition ☆ d’Arnoux et Rauzy est un codage naturel d’une rotation de 𝕋 2 . Dans cette note nous donnons un contre-exemple à cette conjecture. Nous construisons d’abord une suite d’Arnoux-Rauzy ω * qui est déséquilibrée dans le sens suivant : pour tout N>0 il existe deux facteurs de ω * de même longueur dont l’un contient au moins N apparitions d’une même lettre de plus que l’autre. Nous invoquons ensuite un résultat de Rauzy sur les ensembles à restes bornés pour établir l’existence d’une suite d’Arnoux-Rauzy qui n’est pas le codage naturel d’une rotation de 𝕋 2 .

In a 1982 paper Rauzy showed that the subshift (X,T) generated by the morphism 1↦12, 2↦13 and 3↦1 is a natural coding of a rotation on the two-dimensional torus 𝕋 2 , i.e., is measure-theoretically conjugate to an exchange of three fractal domains on a compact set in ℝ 2 , each domain being translated by the same vector modulo a lattice. It was believed more generally that each sequence of block complexity 2n+1 satisfying a combinatorial criterion known as the ☆ condition of Arnoux and Rauzy codes the orbit of a point under a rotation on 𝕋 2 . In this note we exhibit a counterexample to this conjecture. We first build an Arnoux-Rauzy sequence ω * which is unbalanced in the following sense: for each N>0 there exist two factors of ω * of equal length, with one having at least N more occurrences of a given letter than the other. We then invoke a result due to Rauzy on bounded remainder sets to establish the existence of an Arnoux-Rauzy sequence which is not a natural coding of a rotation on 𝕋 2 .

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