no. 4
Locally conformally Kähler metrics on Hopf surfaces
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 4, pp. 1107-1127.

Une surface de Hopf primaire est une surface complexe compacte dont le revêtement universel est ℂ 2 -{(0,0)} et dont le groupe fondamental est le groupe cyclique engendré par une transformation (u,v)↦(αu+λv m ,βv), m∈ℤ, pour α,β,λ∈ℂ tels que ∣α∣≥∣β∣>1 et (α-β m )λ=0. Les surfaces de Hopf primaires sont difféomorphes à S 3 ×S 1 et n’admettent donc aucune métrique kählérienne. En revanche, il est bien connu qu’elles admettent des métriques localement conformément kählériennes, à forme de Lee parallèle, dans le cas où λ=0 et |α|=|β|. Nous construisons ici une métrique localement conformément kählérienne, à forme de Lee parallèle, sur toute surface de Hopf primaire de la classe 1 (λ=0). Nous montrons aussi que ces métriques sont obtenues, via une suspension riemannienne au-dessus de S 1 , en déformant la structure sasakienne canonique de S 3 par une forme quadratique hermitienne de ℂ 2 . Finalement, nous déduisons l’existence de métriques localement conformément kählériennes sur toute surface de Hopf primaire à l’aide d’un argument de déformation dû à C. LeBrun.

A primary Hopf surface is a compact complex surface with universal cover ℂ 2 -{(0,0)} and cyclic fundamental group generated by the transformation (u,v)↦(αu+λv m ,βv), m∈ℤ, and α,β,λ∈ℂ such that ∣α∣≥∣β∣>1 and (α-β m )λ=0. Being diffeomorphic with S 3 ×S 1 Hopf surfaces cannot admit any Kähler metric. However, it was known that for λ=0 and ∣α∣=∣β∣ they admit a locally conformally Kähler metric with parallel Lee form. We here provide the construction of a locally conformally Kähler metric with parallel Lee form for all primary Hopf surfaces of class 1 (λ=0). We also show that these metrics are obtained via a Riemannian suspension over S 1 , by deforming the canonical Sasakian structure of S 3 by a Hermitian quadratic form of ℂ 2 . We finally infer the existence of a locally conformally Kähler metric for all primary Hopf surfaces by a deformation argument due to C. LeBrun.

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