Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier
Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 1, p. 211-258

A residue formula is shown for higher dimensional characteristic classes of the normal bundle to some smooth submanifold V of a manifold W, invariant with respect to some foliation with singularities on W.

In particular, in the complex analytical case, and for foliations with complex dimension 1 of the leaves, the Chern numbers of the normal bundle to the submanifold V are computed in terms of residues of Grothendieck, by mean of a formula which generalizes to the case of arbitrary complex dimensions, p for V and p+q for W, the residues of Camacho-Sad corresponding to the case p=q=1. In fact, a more general formula is proved, which covers also the Baum-Bott residues for the Chern numbers of an holomorphic manifold with an holomorphic vector field having only isolated singularities.

Various examples are computed in the case where V is the exceptional divisor for the blowing-up of a germ of vector field near a singular point.

Une formule de résidus est demontrée pour les classes caractéristiques de degré suffisamment grand du fibré normal à une sous variété lisse V d’une variété W, invariante relativement à un feuilletage avec singularités dans W. En particulier, dans le cas analytique complexe, et pour les feuilletages dont les feuilles sont de dimension complexe 1, les nombres de Chern du fibre normal à la sous-variété V sont calculés en termes de résidus de Grothendieck, par une formule qui généralise au cas de dimensions complexes arbitraires, p pour V et p+q pour W, les résidus de Camacho-Sad correspondant au cas p=q=1. En fait, une formule plus générale est demontrée, qui coiffe aussi celle des résidus de Baum-Bott pour les nombres de Chern d’une variété holomorphe munie d’un champ de vecteurs holomorphe à singularités isolées. Divers exemples sont calculés, lorsque V est le diviseur exceptionnel de l’éclatement d’un germe de champ de vecteurs au voisinage d’un point singulier.

@article{AIF_1991__41_1_211_0,
     author = {Lehmann, Daniel},
     title = {R\'esidus des sous-vari\'et\'es invariantes d'un feuilletage singulier},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {41},
     number = {1},
     year = {1991},
     pages = {211-258},
     doi = {10.5802/aif.1255},
     mrnumber = {92k:57054},
     zbl = {0727.57024},
     language = {fr},
     url = {aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1991__41_1_211_0}
}
Lehmann, Daniel. Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier. Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 1, pp. 211-258. doi : 10.5802/aif.1255. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1991__41_1_211_0/

[AE] C.B. Allendoerfer et J. Eells Jr., On the cohomology of smooth manifolds, Comment. Math. Helvet., 32 (1957), 165-176. | Zbl 0084.39203

[B1] R. Rott, Lectures on characteristic classes and foliations, Springer Lecture Notes, 279 (1972). | MR 50 #14777 | Zbl 0241.57010

[B2] R. Bott, A residue formula for holomorphic vector field, J. of Diff. Geom., vol. 1, fasc. 4 (1967), 311-330. | MR 38 #730 | Zbl 0179.28801

[BB1] P. Baum et R. Bott, On the zeroes of meromorphic vector fields, Essays on Topology and Related Topics, Mémoires dédiés à G. de Rham, Springer (1970), 29-47. | MR 41 #6248 | Zbl 0193.52201

[BB2] P. Baum et R. Bott, Singularities of holomorphic foliations, Jal. of Diff. Geom., vol. 7 (1972), 279-342. | MR 51 #14092 | Zbl 0268.57011

[BT] R. Bott et W. Tu, Differential forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer (1982). | MR 83i:57016 | Zbl 0496.55001

[C] B. Cenkl, Zeroes of vectorfields and characteristic numbers, J. of Diff. Geom., vol. 8, fasc. 1 (1973), 25-46. | MR 50 #14776 | Zbl 0288.58006

[CS] C. Camacho et P. Sad, Invariant varieties through singularities of holomorphic vectorfields, Annals of Maths, 115 (1982), 579-595. | MR 83m:58062 | Zbl 0503.32007

[D] P. Dolbeault et J. Poly, Differential forms with subanalytic singularities; integral cohomology; residues, Proceedings of symposia in Pure Mathematics, vol. 30 (1977), 255-261. | MR 56 #15974 | Zbl 0354.32016

[GB] Gmira Bouchra, Une généralisation d'un théorème de C. Camacho et P. Sad relatif aux feuilletages holomorphes singuliers, Thèse de 3ème cycle, Lille, 1984.

[H] J. Heitsch, Independent variation of secondary characteristic classes, Annals of Maths, 108 (1978), 421-460. | MR 80b:57022 | Zbl 0398.57007

[KT] F. Kamber et P. Tondeur, Characteristic classes for foliated bundles, Springer Lecture Notes, 493 (1975). | MR 53 #6587 | Zbl 0308.57011

[L1] D. Lehmann, Classes caractéristiques résiduelles, Differential Geometry and its applications, Proc. Conf. Aug. 27-Sep. 2 1989, Brno (Tchecoslovaquie), World Scientific edit. (1989). | Zbl 0793.57017

[L2] D. Lehmann, Variétés stratifiées C∞, intégration de Čech-de Rham et théorie de Chern-Weil, Geometry and Topology of submanifolds II, Proc. Conf. 30 may-3 june 1988, Avignon (Fr), World Scientific edit. (1990). | Zbl 0731.57012

[L3] D. Lehmann, Intégration sur les variétés stratifiées, Théorème de Gauss-Bonnet sur les variétés stratifiées, C.R. Acad. Sc. Paris, 307, ser. I (1988), 603-606, 671-673. | MR 89k:58017 | Zbl 0657.57009

[LN1] A. Lins Neto, Complex codimension one foliations leaving a compact submanifold invariant, Dynamical systems and bifurcation theory (Rio de Janeiro 1985), 295-317, Pitman Res. Notes Math. Ser. 160, Longman Sci. Tech. Harlow (1987). | Zbl 0647.57017

[LN2] A. Lins Neto, Algebraic solutions of polynomial differential equations and foliations in dimension two, Springer Lecture Notes 1345 (1986), Conference on holomorphic dynamics, Mexico, 192-232. | MR 90c:58142 | Zbl 0677.58036

[PW] P.A. Schweitzer et A.P. Whitman, Pontryagin polynomial residues of isolated foliation singularities, Differential Topology, Springer Lecture Notes 652 (1978), 95-103. | MR 80a:57015 | Zbl 0409.57029