no. 4
Rationalité et valeurs de fonctions L en cohomologie cristalline
Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 4, pp. 33-92

Dans l’exposé Bourbaki 409, Katz conjecture la méromorphie p-adique de la fonction L(X,E,t) attachée à une variété X lisse sur un corps fini F q (q=p a ) et à un F-cristal E sur X. Si X est propre et lisse sur F q nous prouvons que L est rationnelle et fournie par l’expression habituelle utilisant l’action du Frobenius sur la cohomologie cristalline à coefficients dans E; ce résultat n’était connu, via les “conjectures de Weil”, que pour des F-cristaux unités particuliers: ceux provenant d’une représentation de π 1 (X) factorisable par un quotient fini. Ce théorème nécessite le développement d’un formalisme de classe de cohomologie associée à un morphisme de cristaux, généralisant la classe fondamentale d’un cycle algébrique, et amenant à une formule des traces de Lefschetz.

Lorsque E est un F-cristal unité le lien entre cohomologie cristalline et complexe de De Rham-Witt à coefficients dans E permet alors d’interpréter les zéros et pôles de L de la forme t=q -r , r entier. Sous certaines hypothèses ce complexe fournit également des équivalents de L au voisinage des pôles précédents : ces résultats généralisent ceux de Milne pour les fonctions zêta.

In his Bourbaki talk 409, Katz conjectured the p-adic meromorphy of the function L(X,E,t) attached to a smooth variety X over a finite field F q (q=p a ) and to an F-crystal E on X. If X is proper and smooth over F q we prove that L is rational and given by the usual formula using the action of Frobenius on crystalline cohomology with coefficients in E; this result was only known, via “Weil conjectures”, for particular unit-root F-crystals: those issued of a representation of π 1 (X) through a finite quotient. The proof of the theorem involves the formalism of a cohomology class associated to a morphism of crystals, extending the fundamental class of an algebraic cycle, and leading to a Lefschetz trace formula. When E is a unit-root F-crystal the link between crystalline cohomology and De Rham-Witt complex with coefficients in E enables us to interpret zeroes and poles of L of the form t=q -r , r an integer. Under certain hypotheses this complex yields also equivalents of the L function in the neighbourhood of the preceding poles: these results extend those of Milne for zeta functions.

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Étesse, Jean-Yves. Rationalité et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline. Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 4, pp. 33-92. doi: 10.5802/aif.1149

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