no. 1
Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach
Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 1, pp. 241-260.

Soient A une algèbre de Banach complexe, GL ∞ (A) le groupe général linéaire stable de A et GL ∞ 0 (A) sa composante connexe pour la topologie normique. Nous montrons que toute trace non nulle r:A→C permet de définir un homomorphisme Δ r de GL ∞ 0 (A) sur le quotient du groupe additif C par l’image r ̲(K 0 (A)) du groupe de Grothendieck de A. Si A=M n (C) (respectivement si A est un facteur fini continu) avec la trace usuelle, alors exp (i2πΔ r ) est le déterminant usuel (resp. exp ( Re (i2πΔ r )) est celui de Fuglede et Kadison). Dans le cas général, les déterminants Δ r permettent d’étudier les groupes dérivés de GL 1 0 (A) et GL ∞ 0 (A), donc aussi la relation entre les groupes de Whitehead K 1 (A) et K 1 top (A).

Let A be a complex Banach algebra, let GL ∞ (A) be the stable general linear group of A and let GL ∞ 0 (A) be its connected component for the norm topology. We show that, for any non zero trace r:A→C, one may define a homomorphism Δ r from GL ∞ 0 (A) onto the quotient of the additive group C by the image r ̲(K 0 (A)) of the Grothendieck group of A. If A=M n (C) (respectively if A is a finite continuous factor) with the usual trace, than exp (i2πΔ r ) is the usual determinant (resp. exp (Re(i2πΔ r )) is that of Fuglede and Kadison). In general, the determinants Δ r make it possible to study the derived groups of GL 1 0 (A) and GL ∞ 0 (A), et thus also the relationship between the Whitehead groups K 1 (A) and K 1 top (A).

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Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach. Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 1, pp. 241-260. doi : 10.5802/aif.958. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.958/

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