no. 2
Résolution d'équations aux dérivées partielles dans des espaces de distributions d'ordre de régularité variable
Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 2, pp. 85-128.

L’objet de cet article est de prouver des théorèmes du genre suivant : “Soient P un opérateur différentiel sur R n , ρ une fonction C ∞ à valeurs réelles, k un nombre réel et u une distribution à support compact : alors, si Pu∈H ρ , u∈H ρ+k ” ; l’espace H ρ est ici l’espace de Sobolev “d’ordre variable” associé à ρ ; bien entendu, il faut des hypothèses sur P, ρ et k. Les cas traités sont :

1) certains opérateurs à coefficients variables déjà considérés dans le chapitre VIII du livre de L. Hörmander ;

2) tous les opérateurs à coefficients constants en deux variables, avec des fonctions ρ convexes sur les droites caractéristique de P ;

3) les opérateurs à coefficients constants sur R n pour lesquels existent des inégalités L 2 “à la F. Trèves”. On déduit de ces théorèmes des résultats de résolubilité dans D ′ , nouveaux dans certains cas.

The aim of this paper is to prove theorems of the following kind: “Let P be a differential operator on R n , ρ a C ∞ real valued function, k a real number, and u a distribution with compact support: then, if Pu∈H ρ , u∈H ρ+k ”; the space H ρ is the Sobolev space “of variable order” associated with ρ; of course, some hypotheses about P, ρ and k are needed. The following cases are discussed:

1) some operators with variable coefficients already considered in Chapter VIII of L. Hörmander’s book;

2) the operators with constant coefficients in 2 variables, ρ being convex on the characteristic lines of P;

3) the operators with constant coefficients of which F. Trèves L 2 inequalities are valid. Results on solvability in the space of all distributions, new in some cases, follow from these theorems.

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Unterberger, André. Résolution d'équations aux dérivées partielles dans des espaces de distributions d'ordre de régularité variable. Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 2, pp. 85-128. doi : 10.5802/aif.374. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.374/

[1] J. Bokobza et A. Unterberger, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, t. 260, 1965, p. 3265-3267, et t. 261, 1965, p. 2271-2273. | Zbl

[2] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1964.

[3] L. Hormander, On the Singularities of solutions of partial differential equations, Comm. on Pure and Appl. Math., XXIII, 329-358 (1970). | MR | Zbl

[4] F. John, Plane Waves and Spherical Means applied to Partial. Differential Equations, Interscience Tracts, New York, 1955. | MR | Zbl

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[6] F. Treves, Linear Partial Differential Equations with constant coefficients, Gordon & Breach, New York, 1966. | MR | Zbl

[7] F. Treves, Cours sur les Équations aux Dérivées Partielles Linéaires, École Normale Supérieure, Paris, 1967.

[8] F. Treves, Linear partial differential equations, Gordon and Breach, New York, 1970. | MR | Zbl

Cité par Sources :